phương pháp 2

[son_9f_ltv]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Phương Pháp 2 : Phương Pháp Lựa Chọn Modulo ( hay còn gọi là xét số dư từng vế )
Trước tiên ta có các tính chất cơ bản sau :
số chính phương chia dư ; chia dư ; chia dư
Ví Dụ 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:



Còn
Do đó phương trình trên vô nghiệm.

Có thể mở rộng thêm cho nhiều modulo như và mở rộng cho số lập phương ; tứ phương ; ngũ phương.......
Ta đến với Ví Dụ sau :
Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :

Giải:
Dễ thấy
Mặt khác :
chẵn thì ; lẻ thì

Còn ( vô lí)
Do đó phương trình trên vô nghiệm.
Chú ý : Nhiều bài toán nghiệm nguyên trong đề thi vô địch toán các nước đôi khi phải xét đến modulo khác lớn ; ta xét đến ví dụ sau :

Ví Dụ 7 Balkan1998) Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:

( vô lí)
Do đó phương trình này vô nghiệm.
Chỉ dòng ; thật ngắn gọn và đẹp phải không nào.
Nói chung để xét modulo hiệu quả còn phải tùy thuộc vào sự nhạy bén của người làm toán.
Nói thêm :
Đối với các phương trình nghiệm nguyên có sự tham gia của các số lập phương thì modulo thường dùng là vì ( hãy tự chứng minh )
Ta xét Ví Dụ sau .
Ví Dụ 8 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Dựa vào nhận xét trên :

Còn ( vô lí).
Do đó phương trình trên vô nghiệm .

Phương Pháp 3 : Dùng Bất Đẳng Thức
Dạng 1 : Đối với các phương trình mà các biến có vai trò như nhau thì người ta thường dùng phương pháp sắp xếp thứ tự các biến .
Ví Dụ 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :

Giải : Không mất tính tổng quát có thể giả sử

Nghiệm phương trình là

Dạng 2 : Đối với các phương trình nghịch đảo các biến ta cũng có thể dùng phương pháp này ( nếu vai trò các biến cũng như nhau )
Cách giải khác dành cho Ví Dụ 9:
Chia

vế phương trình trên cho

ta đc :

Giải:
Không mất tính tổng quát có thể giả sử

và

.
Ta xét đến

Ví Dụ tiếp theo để thấy sự hiệu quả của phương pháp này
Ví Dụ 10 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :
Giải:

Không mất tính tổng quát có thể giả sử

. Lần lượt thử :

phương trình vô nghiệm nguyên
Xét

Mặc khác

. Ta thử

lần lượt.

phương trình vô nghiệm nguyên

Xét

Mặc khác

.
Vậy nghiệm phương trình là

và các hoán vị.

Dạng 3 : Áp Dụng Các Bất Đẳng Thức Cổ Điển.
Ví Dụ 11 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :

Giải:

Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta đc

Dấu

xảy ra

Từ phương trình

( phương trình ước số ; dễ dàng tìm đc

rồi tìm ra

)
Đáp số : nghiệm phương trình là

Ghi chú : Việc Áp Dụng BDT vào bài toán nghiệm nguyên rất ít dùng vì ẩn ý dùng BDT rất dễ bị "lộ" nếu người ra đề không khéo léo. Tuy nhiên cũng có

vài trường hợp dùng BDT khá hay .
Ta đến với Ví Dụ sau.
Ví Dụ 12 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau với

là các số đôi

khác nhau.

Giải:
Áp dụng BDT quen thuộc sau :

Vì

khác nhau

Lần lượt thử các giá trị của

ta tìm đc

Đáp số :

và các hoán vị .

Dạng 4 : Áp dụng tính đơn điệu của bài toán . Ta chỉ ra

hoặc

vài giá trị của biến thoả phương trình rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất .

Ví Dụ 13 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau

Giải:

phương trình vô nghiệm nguyên

; thoả mãn .

Do đó

là nghiệm duy nhất của phương trình .
Còn phương trình này thì sao nhỉ :

Bằng cách tương tự ; dễ dàng nhận ra

là nghiệm duy nhất .
Nói thêm : Đối với phương trình trên ; ta có bài toán tổng quát hơn . Tìm các số nguyên dương

thoả :

. Đáp số đơn giản là

nhưng cách giải trên vô tác dụng với bài này . Để giải bài này thì hữu hiệu nhất là xét modulo ( các phương trình chứa ẩn ở mũ thì phương pháp tốt nhất vẫn là xét modulo ) . Phần này chỉ nói thêm nên chúng ta tạm thời không giải bài toán này bây giờ mà sẽ để lại dịp khác .


Dạng 5 : Dùng điều kiện

hoặc

để phương trình bậc

có nghiệm .

Ví Dụ 14 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:

Giải bất phương trình trên không khó ; dễ dàng suy ra được :

Do

nguyên nên dễ dàng khoanh vùng được giá trị của

và thử chọn.
Nói chung thì phương pháp này được dùng khi

có dạng

( hoặc

)
với hệ số

. Còn khi

thì dùng phương pháp đã nói đến trong ví dụ

để đưa về phương trình ước số

cách nhanh chóng.

 

[son_9f_ltv]

phương pháp 4 và 5

Phương Pháp 4: Phương pháp chặn hay ta có thể gọi nó bằng

cái tên khác là đẹp hơn là phương pháp đánh giá.
Phương pháp đánh giá cơ bản dựa vào

nhận xét sau :
1/ không tồn tại

thoả

với

2/ nếu

với

thì

Ta đến với Ví Dụ sau
Ví Dụ 15: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Xét hiệu

Xét hiệu

Theo nhận xét trên

Thế vào phương trình ban đầu

Nhận xét trên có thể mở rộng với số lập phương ; ta đến với ví dụ tiếp theo :
Ví Dụ 16: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:
Bằng cách trên ta có được :

hoặc

hoặc

lần lượt xét

ta tìm được các nghiệm phương trình là:

Phương Pháp 5: Dùng tính chất của số chính phương .
Dạng 1 : Trước tiên ta đến với

mệnh đề sau :

với

thì

Chứng minh mệnh đề này không khó ; ta chứng minh bằng phản chứng : Giả sử

không là số chính phương nên trong phân tích thành ước nguyên tố của

hoặc

tồn tại 1 số chứa ít nhất 1 ước nguyên tố p với số mũ lẻ . Giả sử là

. Vì

nên

không chứa thừa số

cũng chứa thừa số

với số mũ lẻ ( vô lí trái với điều kiện

là số chính phương) . Bây giờ ta đến với

ví dụ .

Ví Dụ 17: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:

Rõ ràng

Từ phương trình

( phương trình ước số)
Từ đó tìm được nghiệm phương trình .
Đáp số :

Dạng 2 : Ta có

mệnh đề thứ

:
Nếu

là các số nguyên thoả

thì
hoặc

; hoặc

Chứng minh mệnh đề này không khó :
Giả sử

Dùng phương pháp chặn :

Vô lí do đó mệnh đề được chứng minh .
Bây giờ áp dụng mệnh đê trên ; ta đến với ví dụ sau .

Ví Dụ 18: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:

=> hoặc

hoặc

.
Phương trình này vẫn còn những cách giải khác nhưng điều tôi muốn nhấn mạnh chính là việc dùng mệnh đề trên giúp cho lời giải bài toán trở nên ngắn gọn hơn .

 

[son_9f_ltv]

phương pháp 6 và 7 nè

Phương Pháp 6: Lùi vô hạn ( hay còn gọi là phương pháp xuống thang) .
Phương pháp này dùng để chứng minh một phương trình

nào đó ngoài nghiệm tầm thường

thì không còn nghiệm nào khác . Phương pháp này có thể được diễn giải như sau :
Bắt đầu bằng việc giả sử

là nghiệm của

. Nhờ những biến đổi ; suy luận số học ta tìm được 1 bộ nghiệm khác

sao cho các nghiệm quan hệ với bộ nghiệm đầu tiên bởi

tỉ số

nào đó . Ví Dụ :

.
Rồi lại từ bộ

thoả

. Quá trình cứ tiếp tục dẫn đến :

chia hết cho

với

là

số tự nhiên tuỳ ý . Điều này xảy ra

.Để rõ ràng hơn ta xét một Ví Dụ .

Ví Dụ 19: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:
Gọi

là

nghiệm của phương trình trên .
Xét theo modulo

. Ta chứng minh

đều chia hết cho

.
Thật vậy ; rõ ràng vế phải chia hết cho

Ta có :

Do đó

đều chia hết cho

.
Đặt

. Thế vào và rút gọn :

Rõ ràng

. Đặt

. Thế vào và rút gọn :

Do đó nếu

là

nghiệm của phương trình trên thì

cũng là

nghiệm .
Tiếp tục lý luận như trên thì

đều chia hết cho

. Ta lại tìm được nghiệm thứ

là

với

. Tiếp tục và ta dẫn đến :

. Điều đó chỉ xảy ra

.

Ví Dụ 20: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

( Korea 1996)
U]Giải:[/U]
Giả sử

là

nghiệm của phương trình trên .

Rõ ràng

chẵn ( do

chẵn ) nên có 2 trường hợp xảy ra.
Trường Hợp 1 : có

số lẻ ;

số chẵn. Không mất tính tổng quát giả sử

lẻ

chẵn.
Xét theo modulo

thì :

Còn

( do

chẵn ) ( vô lí)
Trường Hợp 2 :

số đều chẵn.
Đặt

thế vào và rút gọn ta được :

lập luận như trên ta lại được

chẵn. Quá trình lại tiếp tục đến :

với

Điều đó xảy ra

.
Tóm lại nghiệm phương trình là

Phương Pháp 7: Nguyên Tắc Cực Hạn hay còn gọi là Nguyên Lí Khởi Đầu Cực Trị.
Về mặt hình thức thì phương pháp này khác với phương pháp lùi vô hạn nhưng về ý tưởng sử dụng thì như nhau ; đều chứng minh 1 phương trình không có nghiệm không tầm thường.
Phương pháp bắt đầu bằng việc giả sử

là nghiệm của

với điều kiện ràng buộc với bộ

. Ví Dụ như

nhỏ nhất hoặc

nhỏ nhất...v...v...
Bằng những phép biến đổi số học ta tìm được

bộ nghiệm khác

trái với những điều kiện ràng buộc trên.
Ví dụ khi chon bộ

với

nhỏ nhất ta lại tìm được bộ

thoả

. Từ đó dẫn đến phương trình cho có nghiêm là

. Ta hãy xét

ví dụ.
Ví Dụ 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:
Giả sử

là

nghiệm phương trình trên với điều kiện

nhỏ nhất.
Từ phương trình

chẵn. Đặt

Thế vào và rút gọn ta được :

Rõ ràng

chẵn.Đặt

Tiếp tục

chẵn. Đặt

Và dễ thấy

cũng chẵn.Đặt

Nhìn vào phương trình trên rõ ràng

cũng là

nghiệm phương trình trên và dễ thấy

( vô lí do ta chọn

nhỏ nhất )
Do đó phương trình trên có nghiệm duy nhất

Chú y : ta cũng có thể chọn bộ

thoả

nhỏ nhất ; lý luận tương tự và dễ thấy

từ đó cũng dẫn đến kết luận bài toán.

 

[son_9f_ltv]

phương pháp cuối nè

Phương Pháp 8: Sử Dụng Một Mệnh Đề Cơ Bản Của Số Học.
Trước tiên ta đến với bài toán nhỏ sau:
Cho

là số nguyên tố có dạng

với

nguyên dương ;

là số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng nếu

thì

Chứng minh:
Giả sử

ko chia hết cho

thì rõ ràng

ko chia hết cho

Theo fermat nhỏ :

nên

Mặt khác do

lẻ nên theo hằng đẳng thức

:

(

là

số nào đó )
RÕ ràng

( do giả thiết

)

Do đó theo

ta có điều phải chứng minh.
Xét 1 trường hợp nhỏ của bài toán trên :
Khi

; vì

lẻ nên

Lúc đó ta có mệnh đề sau :

là số nguyên tố có dạng

. Khi đó nếu

thì

Mệnh đề hết sức đơn giản này lại là 1 công cụ vô cùng hiệu quả đối vơi nhiều bài toán khó.

Ví Dụ 22: ( bài toán Lebesgue) Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

( đây là 1 trường hợp nhỏ của phương trình Mordell )
Ghi chú : Phương trình Mordell là phương trình có dạng

; bài toán trên là trường hợp phương trình Mordell với

Giải:
Trước tiên ta có bổ đề nhỏ sau :
Mọi số nguyên có dạng

đều có ít nhất

ước nguyên tố có dạng

Chứng Minh:
Giả sử A không có ước nguyên số nào có dạng

( vô lí)
Do đó A có

ước dạng

Nếu

là số nguyên tố thì bổ đề được chứng minh. Nếu

là hợp số. Lý luận tương tự ta lại có

có

ước có dạng

. Nếu

lại là hợp số thì lai tiếp tục. Vì quá trình trên là hữu hạn nên ta có điều phải chứng minh.
Quay lại bài toán.

Xét

chẵn

( vô lí do

)
Xét

lẻ
viết lại phương trình :

Nếu

Nếu

Do đó

luôn có

ước dạng

và theo bổ đề trên thì

luôn có ít nhất

ước nguyên tố

Theo mệnh đề trên

( vô lí)
Do đó phương trình trên vô nghiệm.


ai thấy có ích thì thank mình câu!