Ta có không gian mẫu $\Omega = \dfrac{12!}{(3!)^4} = 369600$
Gọi các biến cố sau:
A: "Kệ sách có 3 quyển Toán đứng cạnh nhau"
B: "Kệ sách có 3 quyển Lý đứng cạnh nhau"
C: "Kệ sách có 3 quyển Hóa đứng cạnh nhau"
D: "Kệ sách có 3 quyển Sinh đứng cạnh nhau"
Như vậy, biến cố "Kệ sách có ít nhất 1 môn có 3 quyển đứng cạnh nhau" chính là $A \cup B \cup C \cup D$.
Số phần tử của tập hợp này là $\begin{aligned}[t] n(A\cup B \cup C \cup D) &= n(A) + n(B) + n(C) + n(D) \\
& - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap D) - n(D \cap A) - n(A \cap C) - n(B \cap D) \\
& + n(A \cap B \cap C) + n(B \cap C \cap D) + n(C \cap D \cap A) + n(D\cap A \cap B) \\
& - n(A \cap B \cap C \cap D) \end{aligned}$
(Để minh họa dễ hơn thì bạn vẽ thử sơ đồ Venn ra rồi ngẫm nhé)
(Công thức hơi dài, có thể bị khuất xí nhưng mình tin là mình viết đúng nhé)
+) Tính $n(A) + n(B) + n(C) + n(D)$ như sau:
- Chọn 1 môn để lấy 3 quyển đứng cạnh nhau thành 1 nhóm, có thể coi kệ sách bây giờ có 10 phần tử
- Hoán vị các phần tử lại với nhau
Do đó $n(A) + n(B) + n(C) + n(D) = C_4^1 \cdot \dfrac{10!}{(3!)^3}$
+) Tính $n(A \cap B) + \ldots$ như sau:
- Chọn 2 môn để lấy các bộ 3 quyển đứng cạnh nhau thành 2 nhóm, coi kệ sách cho 8 phần tử
- Hoán vị các phần tử lại với nhau
Do đó $n(A \cap B) + \ldots = C_4^2 \cdot \dfrac{8!}{(3!)^2}$
+) Tính $n(A \cap B \cap C) + \ldots = C_4^3 \cdot \dfrac{6!}{(3!)^1}$
+) Tính $n(A \cap B \cap C \cap D) = C_4^4 \cdot \dfrac{4!}{(3!)^0}$
Do đó $n(A \cup B \cup C \cup D) = C_4^1 \cdot \dfrac{10!}{(3!)^3} - C_4^2 \cdot \dfrac{8!}{(3!)^2} + C_4^3 \cdot \dfrac{6!}{(3!)^1} - C_4^4 \cdot \dfrac{4!}{(3!)^0} = 60936$
Như vậy số phần tử của biến cố "Kệ sách không có môn nào có 3 quyển đứng cạnh nhau" là $n(\Omega) - n(A \cup B \cup C \cup D) = \boxed{308664}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
