phép chia hết, có dư

[congquyen134]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ C/m rằng: A=(n^4 - 4n^3 - 4n^2 +16n) chia hết cho 384 với n chẵn và n>4
2/ C/m rằng: B= ( n^4 + 6n^3 +11n^2 +6n) chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n
3/ C/m rằng: C= ( n^8 - n^6 - n^4 + n^2) chia hết cho 1152 với mọi số nguyên lẻ.
4/ C/m rằng: a) 3n^4 - 14n^3 + 21n^2 - 10n chia hết cho 24 với mọi n là số nguyên.
b) n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 120 với mọi n là số nguyên.
c) n^3 - 3n^2 -n +3 chia hết cho 48 với mọi n lẻ và n là số tự nhiên.
5/ Cho số nguyên a không chia hết cho 2 và 3. C/m rằng: D= 4a^2 + 3a + 5 chia hết cho 6.

 

[ngocsangnam12]

Cm rằng với mọi n chẵn và n>4 thì n^4 - 4n^3 - 4n^2 +16n chia hết cho 384.
P = n^4 - 4n^3 - 4n^2 +16n = n(n^3 - 4n^2 - 4n + 16)
= n[ n(n^2 - 4) - 4(n^2 - 4)] = n(n^2 - 4)(n - 4) = n(n+2)(n-2)(n-4)
n chẵn > 4: đặt n = 2k ( k ≥ 3), ta có:
P = 2k(2k + 2)(2k -2)(2k - 4) = 16k(k+1)(k-1)(k-2) = 16.Q
Q = k(k+1)(k-1)(k-2) là tích 4 số liên tiếp chứa tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
=> Q chia hết cho 8
k(k+1)(k-1) là tích 3 số liên tiếp chia hết cho 3 => Q chia hết cho 3
3, 8 nguyên tố cùng nhau => Q chia hết cho 3.8 = 24
=> P chia hết cho 16.24 = 384.

GG

 

[chaudoublelift]

Trả lời

4. CMR: a) [TEX]3n^{4}-14n^{3}+21n^2-10n[/TEX] chia hết cho 24 với [TEX]n \in Z[/TEX]

Ta có:
[TEX]A=3n^{4}-14n^{3}+21n^2-10n=n(3n^{3}-14n^2+21n-10)[/TEX]
[TEX] =n[(3n^{3}-3n^2)-(11n^2-11n)+(10n-10)[/TEX]
[TEX] =n(n-1)(3n^2-11n+10)[/TEX]
[TEX] = n(n-1)(n-2)(3n-5)=n(n-1)(n-2)(3n+3-8)[/TEX]
[TEX] =3n(n-1)(n-2)(n+1)-8(n-2)(n-1)n[/TEX]
Do [TEX](n-2),(n-1)n,(n+1)[/TEX] là 4 số nguyên liên tiếp \Rightarrow[TEX]3n(n-1)(n-2)(n+1) \vdots 24[/TEX]
Mà [TEX]8(n-2)(n-1)n\vdots 24[/TEX](Hai cái này bạn có thể c.minh được mà)
\Rightarrow[TEX]A=3n^{4}-14n^{3}+21n^2-10n \vdots 24[/TEX]

Bài 4: b) [TEX]n^5 - 5n^3 + 4n\vdots120[/TEX] với [TEX]n \in Z[/TEX]
Ta có:
[TEX]A=n^5 - 5n^3 + 4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^2-1)(n^2-4)[/TEX]
[TEX] =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)[/TEX]
Do [TEX](n-2),(n-1),n,(n+1),(n+2)[/TEX] là 5 số nguyên liên tiếp \Rightarrow[TEX](n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) \vdots 120[/TEX](Cái này bạn nên tự C.minh, không nên ỷ lại nhé)

 

[phamhuy20011801]

3, Ta có:
Phân tích đề bài = n(n+1)(n+2)(n+3).
Đây là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 2.3.4=24
Vậy.....