Toán 9 Phần nguyên

[Windeee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số [tex]a_{n}[/tex] xác định như sau: [tex]\left\{\begin{matrix} a_{1}=1, a_{2}=3\\ a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_{n} \end{matrix}\right. (n\epsilon Z^+)[/tex]
Chứng minh rằng : [tex]a_{n+2}=[\frac{7a^2_{n+1}-8a_{n}a_{n+1}}{1+a_{n}+a_{n+1}}][/tex] ( ngoặc vuông là phần nguyên đấy ạ)

Mọi người giải giúp em bài này và tiện thể ai có tài liệu về chuyên đề phần nguyên thì cho em tham khảo thêm với ạ.
Em cảm ơn ạ.

 

[7 1 2 5]

Ta sẽ chứng minh [tex]a_n=2^n-1[/tex]
Thật vậy, ta thấy công thức trên đúng với n = 1 và n = 2. Giả sử công thức trên đúng đến n = k.
Khi đó, vì n = k - 1 cũng đúng nên ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} a_{k-1}=2^{k-1}-1\\ a_k=2^k-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow a_{k+1}=3a_k-2a_{k-1}=3(2^k-1)-2(2^{k-1}-1)=(3.2^k-2^k)-1=2.2^k-1=2^{k+1}-1[/tex]
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lý quy nạp mạnh ta có điều phải chứng minh.
Từ đó sử dụng biến đổi tương đương ta chứng minh được:
[tex]a_{n+2}=2^{n+2}-1 \leq \frac{7a_{n+1}^2-8a_na_{n+1}}{1+a_n+a_{n+1}}=\frac{3.2^{2n+2}-2^{n+2}-1}{3.2^n-1} < 2^{n+2}=a_{n+2}+1\Rightarrow a_{n+2}=[\frac{7a_{n+1}^2-8a_na_{n+1}}{1+a_n+a_{n+1}}][/tex](vì [TEX]a_{n+2} \in \mathbb{N}[/TEX]