- 28 Tháng một 2018
- 770
- 1,510
- 216
- Tuyên Quang
- THCS Chết nhiêu lần
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
CHUYÊN ĐỀ: PHẦN NGUYÊN VÀ ỨNG DỤNG
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
Ta biết rằng, mọi số thực [tex]x[/tex] đều có thể biểu diễn được dưới dạng: [tex]x=n+t[/tex] với [tex]n\epsilon \mathbb{Z}[/tex]
Phần nguyên của số thực [tex]x[/tex] là số nguyên lớn nhất không vượt quá [tex]x[/tex], kí hiệu là [tex]\left [ x \right ][/tex]
Ta có [tex]\left [ x \right ]\leq x< \left [ x \right ]+1[/tex]
Ví dụ [tex]\left [ 2,1 \right ]=2;\left [ \frac{1}{2} \right ]=0;\left [ -1,2 \right ]=-2...[/tex]
Phần lẻ của số thực [tex]x[/tex] là hiệu của [tex]x[/tex] với phần nguyên của nó, kí hiệu là [tex]\left \{ x \right \}[/tex]
Ta có [tex]\left \{ a \right \}=a-\left [ a \right ];0\leq \left \{ a \right \}< 1[/tex]
Ví dụ [tex]\left \{ 2,1 \right \}=0,1;\left \{ -1,2 \right \}=0,8...[/tex]
2. Tính chất
1, [tex]a\epsilon \mathbb{Z}<=>\left [ a \right ]=a[/tex] hoặc [tex]\left \{ a \right \}=0[/tex]
2, Nếu [tex]n\epsilon \mathbb{Z}[/tex] thì [tex]\left [ n+a \right ]=n+\left [ a \right ];\left \{ n+a \right \}=\left \{ a \right \}[/tex]
3, [tex]a\geq b=>\left [ a \right ]\geq \left [ b \right ][/tex]
4, [tex]\left [ a \right ]+\left [ b \right ]\leq \left [ a+b \right ][/tex]
5, [tex]\left [ a \right ]-\left [ b \right ]\geq \left [ a-b \right ][/tex]
6, [tex]\left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}\geq \left \{ a+b \right \};\left \{ a \right \}-\left \{ b \right \}\leq \left \{ a-b \right \}[/tex]
7, Nếu [tex]\left [ a \right ]=\left [ b \right ][/tex] thì [tex]\left | a-b \right |< 1[/tex]
8, [tex]\left [ a \right ]+\left [ a+\frac{1}{2} \right ]=\left [ 2a \right ][/tex]
9, Nếu [tex]n\epsilon \mathbb{N}^{*}[/tex] thì [tex]\left [ na \right ]\geq n\left [ a \right ];\left [ \frac{\left [ a \right ]}{n} \right ]=\left [ \frac{a}{n} \right ][/tex]
10, Nếu [tex]a[/tex] là số nguyên thì [tex]-\left [ a \right ]=\left [ -a \right ][/tex]
Nếu [tex]a[/tex] không là số nguyên thì [tex]-\left [ a \right ]-1=\left [ -a \right ][/tex]
B.Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm phần nguyên của một số hoặc một biểu thức
* Cơ sở phương pháp: Để tính giá trị một biểu thức chứa phần nguyên, ta cần sử dụng các
tính chất của phần nguyên, kết hợp với các kĩ thuật tính toán khác đặc biệt là Phương
pháp “kẹp”
Đánh giá số hạng để “kẹp” số cần tính phần nguyên giữa hai số nguyên liên tiếp: Đưa
biểu thức về dạng [tex]z\leq A< z+1=>\left [ A \right ]=z[/tex]
VD1 Tìm phần nguyên của [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}[/tex] có 100 dấu căn
Kí hiệu [tex]a_{n}=\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}[/tex]
Ta có [tex]a_{1}=\sqrt{6}<3[/tex]
[tex]a_{2}=\sqrt{6+a_{1}}<\sqrt{6+3}=3[/tex]
[tex]a_{3}=\sqrt{6+a_{2}}<\sqrt{6+3}=3[/tex]
...
[tex]a_{100}=\sqrt{6+a_{99}}<\sqrt{6+3}=3[/tex]
Hiển nhiên [tex]a_{100}>\sqrt{6}>2[/tex] Vậy [tex]2<a_{100}<3[/tex] [tex]\left [ a_{100} \right ]=2[/tex]
Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức chứa phần nguyên
* Cơ sở phương pháp: Chứng minh các hệ thức chứa phần nguyên thực chất có thể coi là
chứng minh các tính chất của phần nguyên. Để chứng minh các hệ thức chứa phần
nguyên ta phải sử dụng các tính chất đã được nêu trong phần lý thuyết, kết hợp với các kĩ
thuật đại số và số học.
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có:
[tex]\left [ \frac{n}{2} \right ]+\left [ \frac{n+1}{2} \right ][/tex]
Nếu [tex]n[/tex] chẵn tức [tex]n=2k[/tex] thì [tex]\left [ \frac{2k}{2} \right ]+\left [ \frac{2k+1}{2} \right ]=\left [ k \right ]+\left [ k+\frac{1}{2} \right ]=k+k=2k=n[/tex]
Nếu [tex]n[/tex] lẻ tức [tex]n=2k+1[/tex] thì [tex]\left [ \frac{2k+1}{2} \right ]+\left [ \frac{2k+1+1}{2} \right ]=\left [ k+\frac{1}{2} \right ]+\left [ k+1 \right ]=k+k+1=2k+1=n[/tex]
Vậy bài toán được chứng minh
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
Ta biết rằng, mọi số thực [tex]x[/tex] đều có thể biểu diễn được dưới dạng: [tex]x=n+t[/tex] với [tex]n\epsilon \mathbb{Z}[/tex]
Phần nguyên của số thực [tex]x[/tex] là số nguyên lớn nhất không vượt quá [tex]x[/tex], kí hiệu là [tex]\left [ x \right ][/tex]
Ta có [tex]\left [ x \right ]\leq x< \left [ x \right ]+1[/tex]
Ví dụ [tex]\left [ 2,1 \right ]=2;\left [ \frac{1}{2} \right ]=0;\left [ -1,2 \right ]=-2...[/tex]
Phần lẻ của số thực [tex]x[/tex] là hiệu của [tex]x[/tex] với phần nguyên của nó, kí hiệu là [tex]\left \{ x \right \}[/tex]
Ta có [tex]\left \{ a \right \}=a-\left [ a \right ];0\leq \left \{ a \right \}< 1[/tex]
Ví dụ [tex]\left \{ 2,1 \right \}=0,1;\left \{ -1,2 \right \}=0,8...[/tex]
2. Tính chất
1, [tex]a\epsilon \mathbb{Z}<=>\left [ a \right ]=a[/tex] hoặc [tex]\left \{ a \right \}=0[/tex]
2, Nếu [tex]n\epsilon \mathbb{Z}[/tex] thì [tex]\left [ n+a \right ]=n+\left [ a \right ];\left \{ n+a \right \}=\left \{ a \right \}[/tex]
3, [tex]a\geq b=>\left [ a \right ]\geq \left [ b \right ][/tex]
4, [tex]\left [ a \right ]+\left [ b \right ]\leq \left [ a+b \right ][/tex]
5, [tex]\left [ a \right ]-\left [ b \right ]\geq \left [ a-b \right ][/tex]
6, [tex]\left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}\geq \left \{ a+b \right \};\left \{ a \right \}-\left \{ b \right \}\leq \left \{ a-b \right \}[/tex]
7, Nếu [tex]\left [ a \right ]=\left [ b \right ][/tex] thì [tex]\left | a-b \right |< 1[/tex]
8, [tex]\left [ a \right ]+\left [ a+\frac{1}{2} \right ]=\left [ 2a \right ][/tex]
9, Nếu [tex]n\epsilon \mathbb{N}^{*}[/tex] thì [tex]\left [ na \right ]\geq n\left [ a \right ];\left [ \frac{\left [ a \right ]}{n} \right ]=\left [ \frac{a}{n} \right ][/tex]
10, Nếu [tex]a[/tex] là số nguyên thì [tex]-\left [ a \right ]=\left [ -a \right ][/tex]
Nếu [tex]a[/tex] không là số nguyên thì [tex]-\left [ a \right ]-1=\left [ -a \right ][/tex]
B.Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm phần nguyên của một số hoặc một biểu thức
* Cơ sở phương pháp: Để tính giá trị một biểu thức chứa phần nguyên, ta cần sử dụng các
tính chất của phần nguyên, kết hợp với các kĩ thuật tính toán khác đặc biệt là Phương
pháp “kẹp”
Đánh giá số hạng để “kẹp” số cần tính phần nguyên giữa hai số nguyên liên tiếp: Đưa
biểu thức về dạng [tex]z\leq A< z+1=>\left [ A \right ]=z[/tex]
VD1 Tìm phần nguyên của [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}[/tex] có 100 dấu căn
Kí hiệu [tex]a_{n}=\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}[/tex]
Ta có [tex]a_{1}=\sqrt{6}<3[/tex]
[tex]a_{2}=\sqrt{6+a_{1}}<\sqrt{6+3}=3[/tex]
[tex]a_{3}=\sqrt{6+a_{2}}<\sqrt{6+3}=3[/tex]
...
[tex]a_{100}=\sqrt{6+a_{99}}<\sqrt{6+3}=3[/tex]
Hiển nhiên [tex]a_{100}>\sqrt{6}>2[/tex] Vậy [tex]2<a_{100}<3[/tex] [tex]\left [ a_{100} \right ]=2[/tex]
Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức chứa phần nguyên
* Cơ sở phương pháp: Chứng minh các hệ thức chứa phần nguyên thực chất có thể coi là
chứng minh các tính chất của phần nguyên. Để chứng minh các hệ thức chứa phần
nguyên ta phải sử dụng các tính chất đã được nêu trong phần lý thuyết, kết hợp với các kĩ
thuật đại số và số học.
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có:
[tex]\left [ \frac{n}{2} \right ]+\left [ \frac{n+1}{2} \right ][/tex]
Nếu [tex]n[/tex] chẵn tức [tex]n=2k[/tex] thì [tex]\left [ \frac{2k}{2} \right ]+\left [ \frac{2k+1}{2} \right ]=\left [ k \right ]+\left [ k+\frac{1}{2} \right ]=k+k=2k=n[/tex]
Nếu [tex]n[/tex] lẻ tức [tex]n=2k+1[/tex] thì [tex]\left [ \frac{2k+1}{2} \right ]+\left [ \frac{2k+1+1}{2} \right ]=\left [ k+\frac{1}{2} \right ]+\left [ k+1 \right ]=k+k+1=2k+1=n[/tex]
Vậy bài toán được chứng minh
