Toán 12 Phân biệt cực trị hàm nhiều biến

[baochau1112]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất kết hợp 2 loại sản phẩm với hàm chi phí như sau:
[tex]TC=3Q_1^2+2Q_1Q_2+2Q_2^2+10[/tex] Hãy chọn mức sản lượng kết hợp $(Q_1, Q_2)$ để doanh nghiệp có được lợi nhuận tối đa khi giá sản phẩm 1 là 160 đô la và sản phẩm hai là 120 đô la

2. Một công ty độc quyền sản xuất kết hợp 2 loại sản phẩm với hàm chi phí là:
[tex]TC=3Q_1^2+2Q_1Q_2+2Q_2^2+55[/tex] Hãy chọn mức sản lượng kết hợp $(Q_1,Q_2)$ và giá bán các sản phẩm để công ty có được lợi nhuận tối đa, khi cầu của thị trường đối với các sản phẩm của công ty là:
- Sản phẩm 1: $Q_1=50-0.5p_1$
- Sản phẩm 2: $Q_2=76-p_2$

Mình không phân biệt được khi nào dùng cực trị hàm nhiều biến có điều kiện và khi nào là không điều kiện để ứng dụng vào bài này. Mọi người giúp với ạ =(((

 

[Cá Rán Tập Bơi]

công thức chung của hàm lợi nhuận vẫn là: "Lợi nhuận" = "Tổng thu" - "Tổng chi phí" trong đó tổng thu vẫn là [tex]\sum p_{i}.Q_{i}[/tex]

cứ việc lập hàm lợi nhuận rồi khảo sát cực trị của nó là xong thôi, cả 2 bài này đều là cực trị tự do (cực trị không có điều kiện).
phân biệt cực trị có điều kiện và cực trị tự do rất dễ, trong bài toán cực trị tự do thì ngoài hàm lợi nhuận, giữa các biến cùng loại không còn ràng buộc nào khác, còn trong bài toán cực trị có điều kiện, tồn tại một hay nhiều phương trình ràng buộc giữa các biến [tex]Q_{i}[/tex] (hoặc giữa các biến [tex]p_{i}[/tex]) hoặc tồn tại miền giới hạn của các biến [tex]Q_{i}[/tex] hoặc [tex]p_{i}[/tex]

- hàm lợi nhuận của bài 1:
[tex]z(Q_{1},Q_{2})=160.Q_{1}+120.Q_{2}-3Q_{1}^{2}-2Q_{1}.Q_{2}-2Q_{2}^{2}-10[/tex]

- bài 2: từ điều kiện [tex]\left\{\begin{matrix} Q_{1}=50-0.5p_{1} & \\ Q_{2}=76-p_{2}& \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p_{1}=100-2Q_{1} & \\ p_{2}=76-Q_{2}& \end{matrix}\right.[/tex]
thay vào ta được hàm lợi nhuận
[tex]z(Q_{1},Q_{2})=(100-2Q_{1}).Q_{1}+(76-Q_{2}).Q_{2}-3Q_{1}^{2}-2Q_{1}.Q_{2}-2Q_{2}^{2}-55[/tex]

nhân phá ngoặc, rút gọn rồi khảo sát cực trị tự do như hàm 2 biến bình thường

 

[baochau1112]

công thức chung của hàm lợi nhuận vẫn là: "Lợi nhuận" = "Tổng thu" - "Tổng chi phí" trong đó tổng thu vẫn là [tex]\sum p_{i}.Q_{i}[/tex]

cứ việc lập hàm lợi nhuận rồi khảo sát cực trị của nó là xong thôi, cả 2 bài này đều là cực trị tự do (cực trị không có điều kiện).
phân biệt cực trị có điều kiện và cực trị tự do rất dễ, trong bài toán cực trị tự do thì ngoài hàm lợi nhuận, giữa các biến cùng loại không còn ràng buộc nào khác, còn trong bài toán cực trị có điều kiện, tồn tại một hay nhiều phương trình ràng buộc giữa các biến [tex]Q_{i}[/tex] (hoặc giữa các biến [tex]p_{i}[/tex]) hoặc tồn tại miền giới hạn của các biến [tex]Q_{i}[/tex] hoặc [tex]p_{i}[/tex]

- hàm lợi nhuận của bài 1:
[tex]z(Q_{1},Q_{2})=160.Q_{1}+120.Q_{2}-3Q_{1}^{2}-2Q_{1}.Q_{2}-2Q_{2}^{2}-10[/tex]

- bài 2: từ điều kiện [tex]\left\{\begin{matrix} Q_{1}=50-0.5p_{1} & \\ Q_{2}=76-p_{2}& \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p_{1}=100-2Q_{1} & \\ p_{2}=76-Q_{2}& \end{matrix}\right.[/tex]
thay vào ta được hàm lợi nhuận
[tex]z(Q_{1},Q_{2})=(100-2Q_{1}).Q_{1}+(76-Q_{2}).Q_{2}-3Q_{1}^{2}-2Q_{1}.Q_{2}-2Q_{2}^{2}-55[/tex]

nhân phá ngoặc, rút gọn rồi khảo sát cực trị tự do như hàm 2 biến bình thường

À, tức là bài 2 cần đảo ngược hàm cầu đúng không ạ?
Còn ví dụ có bài về doanh nghiệp độc quyền có nhiều cơ sở sản xuất khác nhau. Hoặc là bài về doanh nghiệp độc quyền tiêu thụ sản phẩm ở các thị trường khác nhau thì có là cực trị tự do ko ạ?

P/s: Trong chương trình cô dạy bọn em ko có dạy về cực trị có điều kiện. Cô chỉ bảo về đọc thêm nhưng thi có ra hay ko thì chưa biết. Nhưng mà về cực trị hàm nhiều biến thì bọn em chỉ học có 4 dạng thôi. Nên em muốn hỏi kĩ cho chắc. Bỏ k học phần nào thì nhẹ phần nấy :>

Anh trả lời em cho với ạ Em cảm ơn

 

[Cá Rán Tập Bơi]

mình không học toán kinh tế nên những dạng bạn hỏi mà chỉ nêu tên dạng thì mình chịu chết luôn, phải đưa bài tập cụ thể mình mới tư duy được (nếu có khả năng tư duy được)
thật ra trong các bài tập bạn hỏi mình toàn thay các biến p, Q bằng x, y, z để nhìn cho quen mắt sau đó thay ngược lại p, Q cho bạn

 

[baochau1112]

mình không học toán kinh tế nên những dạng bạn hỏi mà chỉ nêu tên dạng thì mình chịu chết luôn, phải đưa bài tập cụ thể mình mới tư duy được (nếu có khả năng tư duy được)
thật ra trong các bài tập bạn hỏi mình toàn thay các biến p, Q bằng x, y, z để nhìn cho quen mắt sau đó thay ngược lại p, Q cho bạn

Dạng doanh nghiệp độc quyền nhiều cơ sở sản xuất khác nhau là thế này ạ.

Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm hai nhà máy với hàm chi phí cận biên như sau (Qi là lượng sản phẩm sản xuất ở nhà máy , MCi là chi phí cận biên của nhà máy i) [tex]MC_1=2+0,2Q_1[/tex], [tex]MC_2=6+0,04Q_2[/tex]
Công ty đó bán sản phẩm trên thị trường với hàm cầu ngược: [tex]p=66-0,1Q[/tex]. Nếu công ty đó muốn tối đa hóa lợi nhuận thì phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và bán với giá bao nhiêu?

Bài này là cực trị có điều kiện hay ko ạ?

Dạng doanh nghiệp độc quyền tiêu thụ sản phẩm ở các thị trường khác nhau có ví dụ đề bài thế này.

Nhà sản xuất độc quyền tiến hành sản xuất với hàm chi phí TC = TC(Q) và giả sử cầu đối với ản phẩm là:
[tex]TC=2000+10.Q(Q=Q_1+Q_2)[/tex]
Cầu của thị trường 1: [tex]Q_1=21-0,1p_1[/tex]
Cầu của thị trường 2: [tex]Q_2=50-0,4p_2[/tex]
Nếu công ty đó muốn tối đa hóa lợi nhuận thì phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và bán với giá bao nhiêu?

Làm thế nào để phân biệt có điều kiện hay ko ạ? Có đề có $Q_i$ như trên, có đề lại không. Vậy thì làm sao mà biết được... Ko hiểu ức chế sao sao á =(((

@phuongdaitt1 Em gộp 2 bài này lại giúp chị với. Chị cảm ơn ^^
#phuongdaitt1: Oki rồi chị ^^

 

[Cá Rán Tập Bơi]

à bạn yên tâm, 2 bài này đều là cực trị tự do
chừng nào mà p hoặc Q bị giới hạn (ví dụ người ta cho doanh nghiệp chỉ có năng lực sản xuất số sản phẩm trong giới hạn nào đó, hoặc người tiêu dùng chỉ có ngân quỹ mua hàng hóa ở giới hạn nào đó) thì mới chuyển sang bài toán cực trị có điều kiện

 

[Cá Rán Tập Bơi]

bạn viết thử hàm lợi nhuận trong 2 bài dưới xem, nếu đúng thì coi như xong rồi, không cần suy nghĩ gì nữa
mà phần tự đọc thêm không đời nào người ta cho thi đâu, mấy cô toàn thích hù nhau không

 

[baochau1112]

à bạn yên tâm, 2 bài này đều là cực trị tự do
chừng nào mà p hoặc Q bị giới hạn (ví dụ người ta cho doanh nghiệp chỉ có năng lực sản xuất số sản phẩm trong giới hạn nào đó, hoặc người tiêu dùng chỉ có ngân quỹ mua hàng hóa ở giới hạn nào đó) thì mới chuyển sang bài toán cực trị có điều kiện

À anh ơi, dù sao thì cũng đã dốc công đăng bài để hỏi rồi. Anh giải mẫu cho em một bài với ạ. Chứ cách trình bày trong sách Lê Đình Thúy như tiếng Lào ý. Đọc vào em chẳng hiểu gì cả.

bạn viết thử hàm lợi nhuận trong 2 bài dưới xem, nếu đúng thì coi như xong rồi, không cần suy nghĩ gì nữa
mà phần tự đọc thêm không đời nào người ta cho thi đâu, mấy cô toàn thích hù nhau không

Em ko hiểu cách viết anh ạ. Thấy TC rồi MC loạn xà ngầu ý @@ Haiz

 

[Cá Rán Tập Bơi]

bị hack não bởi các kí hiệu rồi
thần chú của các chị bán rau ngoài chợ: "lãi=thu-chi", mặc kệ kí hiệu trên trời dưới đất gì ta không quan tâm
ví dụ như bài dưới:
Lợi nhuận = tổng thu - tổng chi
[tex]z(Q_{1},Q_{2})=p_{1}.Q_{1}+p_{2}.Q_{2}-(2000+10Q)[/tex]
ta có [tex]\left\{\begin{matrix} Q_{1}=21-0,1p_{1} & \\ Q_{2}=50-0,4p_{2} & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p_{1}=210-10Q_{1} & \\ p_{2}=125-2,5.Q_{2} & \end{matrix}\right.[/tex] và thay luôn [tex]Q=Q_{1}+Q_{2}[/tex] vào ta được:
[tex]z=(210-10Q_{1}).Q_{1}+(125-2,5.Q_{2}).Q_{2}-2000-10(Q_{1}+Q_{2})[/tex]

rồi, tới đây phá ngoặc và đạo hàm là xong thôi

//đừng để kí hiệu hack não, bỏ qua nó, không quan tâm, bạn chỉ cần quan tâm bản chất của nó là thu vào hay chi phí để thay vô hàm lợi nhuận thôi