c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$:
$x^2=-2ax-4a \Leftrightarrow x^2+2ax+4a=0$
$\Delta ' = a^2-4a$
$(P)$ cắt $(d)$ tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ' > 0$
$\Leftrightarrow a^2-4a > 0 \Leftrightarrow
\left[\begin{matrix}
a>4 \\ a<0
\end{matrix}\right.
$
Viète $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x_1+x_2=-2a \\ x_1 x_2=4a
\end{matrix}\right.$
$x_1^2 + x_2^2 = \left ( x_1 + x_2 \right ) ^2 -2x_1x_2 \\
= (-2a)^2-2.4a \\
= 4a^2-8a \\
= (2a)^2-2.2a.2+2^2-2^2 \\
= (2a-2)^2-4 \geq -4, \forall x \in \mathbb{R}$
Do đó GTNN của $x_1^2 + x_2^2$ đạt được $\Leftrightarrow 2a-2=0 \Leftrightarrow a=1$
Nhưng $a=1$ không thỏa mãn điều kiện $\left[\begin{matrix}
a>4 \\ a<0
\end{matrix}\right.
$
Do đó không tồn tại $a \in \mathbb{R}$ để $(P)$ cắt $(d)$ tại 2 điểm phân biệt sao cho $x_1^2 + x_2^2$ đạt GTNN
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
