Toán 12 [Ôn thi THPTQG] Tổng hợp kiến thức toán 12

[Timeless time]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Xin chào các bạn, để giúp các bạn có sự chuẩn bị tốt cho kì thi THPTQG,ở topic này mình sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức toán 12 một cách hiệu quả và chi tiết nhất ^^
Tổng hợp kiến thức toán 12 gồm 5 phần:
1. Phần 1: Hàm số
2. Phần 2. Mũ và Logarit
3. Phần 3. Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng tích phân
4. Phần 4. Số phức
5. Phần 5. Khối đa diện
Bắt đầu thôi nào

Phần 1: Hàm số​

1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

1.1. Định nghĩa

Ở phần này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm về khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn. Từ đó khám phá các thuật ngữ về tính đồng biến, nghịch biến cơ bản hoặc trên các khoảng, các đoạn khác nhau. Đây là các dạng bài tập thường xuyên gặp trong phần này.
$\forall x_{1},x_{2}\in K,x_{1}< x_{2}$ ( $K$ là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng )
+ $f(x_{1})< f(x_{2})\Rightarrow y=f(x)$ đồng biến trên $K$ đồ thi đi lên từ trái sang phải
+ $f(x_{1})> f(x_{2})\Rightarrow y=f(x)$ nghịch biến trên $K$ đồ thi đi xuống từ trái sang phải
Chú ý:
+ Nếu $f'(x)> 0\forall x\in (a;b)\Rightarrow$ hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(a;b)$
+ Nếu $f'(x) < 0\forall x\in (a;b)\Rightarrow$ hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(a;b)$
+ Nếu $f'(x) = 0\forall x\in (a;b)\Rightarrow$ hàm số $f(x)$ không đổi trên $(a;b)$
+ Nếu $f(x)$ đồng biến trên $(a;b)\Rightarrow f'(x)\geq 0\, \forall x\in (a;b)$
+ Nếu $f(x)$ nghịch biến trên $(a;b) \Rightarrow f'(x)\leq 0\, \forall x\in (a;b)$

1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Đạo hàm là một trong những công cụ để giúp bạn giải quyết các bài toán hàm số nhanh gọn nhất. Do đó, nắm vững các công thức đạo hàm là điều dường như bắt buộc khi học toán. Các công thức đạo hàm bao gồm: Quy tắc tính, công thức tổng hiệu, tích, thương, đạo hàm là hàm hợp,…

Quy tắc tính đạo hàm: Cho $u=u(x); v=v(x) ;C:$ là hằng số
+ Tổng, hiệu: $(u\pm v)'=u'\pm v'$
+ Tích: $(u\cdot v)'=u'\cdot v+v'\cdot u\Rightarrow (C\cdot u)'=C\cdot u'$
+ Thương: $\left ( \dfrac{u}{v} \right )'=\dfrac{u'v-v'u}{v^{2}},(v\neq 0)\Rightarrow \left ( \dfrac{C}{u} \right )'=-\dfrac{C\cdot u'}{u^{2}},(u\neq 0)$

Bảng công thức tính đạo hàm

Đạo hàm của hàm sơ cấp	Đạo hàm của hàm hợp
$(C)'=0$ ($C$ là hằng số)
$(x^{\alpha })'=\alpha \cdot x^{\alpha -1}$ $\left ( \dfrac{1}{x} \right )'=-\dfrac{1}{x^{2}},\, (x\neq 0)$ $(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}},(x> 0)$	$(u^{\alpha })'=\alpha\cdot u^{\alpha -1}\cdot u'$ $\left ( \dfrac{1}{u} \right )'=-\dfrac{u'}{u^{2}},\, (u\neq 0)$ $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}},\, (u\neq 0)$
$(\sin x)'=\cos x$	$(\sin u)'=u'\cdot \cos x$
$(\cos x)'=-\sin x$	$(\cos u)'=-u'\cdot \sin u$
$(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$	$(\tan u)'=\dfrac{u'}{\cos^{2}u}$
$(\cot x)'=-\dfrac{1}{\sin^{2}x}$	$(\cot u)'=-\dfrac{u'}{\sin^{2}u}$
$(e^{x})'=e^{x}$	$(e^{u})'=u'\cdot e^{u}$
$(a^{x})'=a^{x}\cdot \ln a$	$(a^{u})'=u'\cdot a^{u}\cdot\ln a$
$(\ln\left | x \right |)'=\dfrac{1}{x}$	$(\ln\left | u \right |)'=\dfrac{u'}{u}$
$(\log_{a}\left | x \right |)'=\dfrac{1}{x\cdot \ln a}$	$(\log_{a}\left | u \right |)'=\dfrac{u'}{u\cdot \ln a}$

[TBODY] [/TBODY]

Công thức tính đạo hàm phân thức: $$\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)'=\dfrac{ad=bc}{(cx+d)^{2}}$$

Một số lưu ý cần thiết
+ Nếu hàm $f(x)$ và $g(x)$ cùng đồng biến (nghịch biến) trên $K$ thì hàm số $f(x)+g(x)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên $K$. Tính chất này có thể không đúng với hiệu $f(x)-g(x)$
+ Nếu hàm $f(x)$ và $g(x)$ là các số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên $K$ thì hàm $f(x)\cdot g(x)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên $K$. Tính chất này có thể không đúng khi hàm $f(x),g(x)$ không là các hàm số dương trên $K$
+ Cho hàm $u=u(x)$ xác định với $x\in (a;b)$ và $u(x)\in (c;d)$. Hàm số $f[u(x)]$ cũng xác định với $x\in (a;b)$

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
- Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên $K$
+ Nếu $f'(x)\geq 0\forall x\in K,f'(x)=0$ chỉ tại 1 số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $K$
+ Nếu$f'(x)\leq 0\forall x\in K,\, f'(x)=0$ chỉ tại 1 số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $K$

Chú ý : Đối với hàm phân thức hữu tỉ $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\left(x\neq -\dfrac{d}{c}\right)$ thì dấu $"="$ khi xét dấu đạo hàm $y'$ không xảy ra

- Giả sử $y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\Rightarrow f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$
+ Hàm đồng biến trên$\mathbb{R}\Leftrightarrow f'(x)\geq 0\, \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a> 0 & \\ \Delta \leq 0 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} a=0 & & \\ b=0 & & \\ c > 0 & & \end{matrix}\right.$
+ Hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow f'(x)\leq 0\, \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a< 0 & \\ \Delta \leq 0 & \end{matrix}\right.$ hoặc$\left\{\begin{matrix} a=0 & & \\ b=0 & & \\ c< 0 & & \end{matrix}\right.$

Chú ý : Đường thẳng song song với trục $Ox$ thì không đơn điệu

 

[Timeless time]

2. Cực trị hàm số

2.1 Định nghĩa

Giả sử hàm số $f(x)$ xác định trên tập $K$ và $x_{o}\in K$

• $x_{o}$ là điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa$x_{o}$ sao cho $(a;b)\subset K$ và $f(x)> f(x_{o})\, ,\forall x\in (a;b)\setminus \left \{ x_{o} \right \}$

$\Rightarrow f(x_{o})$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $f(x)$

• $x_{o}$ là điểm cực đại của hàm số $f(x)$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa $x_{o}[$ sao cho$(a;b)\subset K$ và $f(x) < f(x_{o})\, ,\forall x\in (a;b)\setminus \left \{ x_{o} \right \}$

$\Rightarrow f(x_{o})$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $f(x)$

Chú ý :

• Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
• Nếu $x_{o}$ là điểm cực trị của hàm số thì điểm $(x_{o};f(x_{o}))$ được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số

2.2 Điều kiện cần để đạt cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x_{o}$. Khi đó hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{o}$ thì $f'(x_{o})=0$

Chú ý:

• Đạo hàm $f'(x)$ có thể bằng 0 tại điểm $x_{o}$ nhưng hàm số $f(x)$ không đạt cực trị tại điểm $x_o$
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó không có đạo hàm
• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó đạo hàm không xác định

2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lý 2: Giả sử hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x_o$. Khi đó nếu hàm số $f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{o}$ thì $f'(x_{o})=0$. Nếu$f'(x_{o}) > 0$ trên khoảng $(x_{o}-h;x_{o})$ và $f'(x_{o}) < 0$ trên khoảng $(x_{o};x_{o}+h)$ thì $x_o$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$

Quy tắc tìm cực trị số 1

1. Tìm tập xác định. Tìm $f'(x)$
2. Tìm các điểm $x_o$ mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng không hoặc không xác định
3. Lập BBT hoặc xét dấu $f'(x)$. Nếu $f'(x)$ đổi dấu khi đi qua $x_o$ thì hàm số đạt cực trị tại $x_o$

Định lý 3: Giả sử $y=f(x)$ có đạo hàm cấp 2 trong khoảng $(x_{o}-h;x_{o}+h)$ với $h>0$

• Nếu $f'(x_{o})=0\, , f'(x_{o}) < 0$ thì hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x_o$
• Nếu $f'(x_{o})=0\, , f'(x_{o}) > 0$ thì hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_o$

Từ định lý trên ta có một quy tắc khác để tìm cực trị hàm số

Quy tắc tìm cực trị số 2

1. Tìm tập xác định. Tìm $f'(x)$
2. Tìm các nghiệm$x_o$ của phương trình $f'(x)=0$
3. Tính $f'(x)$ và tính $f"(x_{o})$

• Nếu $f"(x_{o})< 0$ thì hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x=x_{o}$
• Nếu $f"(x_{o}) > 0$ thì hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_o$

 

[Timeless time]

3. Các dạng toán về cực trị hàm số

3.1 Cực trị của hàm đa thức bậc 3

Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán tổng quát: Cho hàm số $y=f(x;m)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $K$ cho trước
Phương pháp:
+ Bước 1:

• Tìm tập xác định $D=\mathbb{R}$
• Đạo hàm $y'=3ax^{2}+2bx+c$

+ Bước 2:
Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt và $y'$ đổi dấu qua 2 nghiệm đó
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I} 3a\neq 0 \\ \Delta _{y'}=4b^{2}-12ac> 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I} a\neq 0 \\ b^{2}-3ac> 0 \end{array}\right.\Rightarrow m\in D_{1}$

+ Bước 3: Gọi $x_{1},x_{2}$ là nghiệm của phương trình $y'=0$
Khi đó: $\left\{\begin{array}{I} x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2b}{3a}& \\ x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{3a} & \end{array}\right.$

+ Bước 4: Biến đổi điều kiện $K$ về dạng tổng $S$ và tích $P$ . Từ đó giải ra được $m\in D_{2}$

+ Bước 5: Kết luận các giá trị $m$ thỏa mãn: $m=D_{1}\cap D_{2}$

* Chú ý: Hàm bậc 3 $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\, (a\neq 0)$

Ta có $y'=3ax^{2}+2bx+c$

Điều kiện	Kết luận
$b^{2}-3ac> 0$	Hàm số có 2 điểm cực trị
$b^{2}-3ac\leq 0$]	Hàm số không có cực trị

[TBODY] [/TBODY]

Tìm điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu hoặc trái dấu

+ Hàm số có 2 cực trị trái dấu $\Leftrightarrow y'=0$có 2 nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow ac< 0$
+ Hàm số có 2 nghiệm cùng dấu $\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm cùng dấu $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I} \Delta_{y'}> 0 & \\ x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{c}{3a}> 0 \end{array}\right.$
+ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu dương $\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt dương $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I} \Delta _{y'}> 0 \\ x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{c}{3a}> 0 \\ x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2b}{3a}> 0 \end{array}\right.$
+ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu âm $\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt âm $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I} \Delta _{y'}> 0 \\ x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{c}{3a}> 0 \\ x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2b}{3a}< 0 \end{array}\right.$

Dạng 2: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng.

Vị trí tương đối giữa hai điểm với đường thẳng:

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về một phía đối với trục $Oy$
$\Leftrightarrow$ hàm số có 2 cực trị cùng dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thi nằm cùng về hai phía đối với trục $Oy$
$\Leftrightarrow$ hàm số có 2 cực trị trái dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về một phía đối với trục $Ox$
$\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt và $y_{\text{CĐ}}\cdot y_{\text{CT}}> 0$

3.2 Cực trị hàm trùng phương

1. Các kiến thức cần nhớ

+ Hàm số có 1 cực trị $\Leftrightarrow ab\geq 0$
+ Hàm số có 3 cực trị $ab< 0$
+ Hàm số có đúng 1 cực trị và cực trị là cực tiểu $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I} a> 0 \\ b\geq 0 \end{array}\right.$
+ Hàm số có đúng 1 cực trị và cực trị là cực đại $\Leftrightarrow \left\{\begin{array} a< 0 \\ b\leq 0 \end{array}\right.$
+ Hàm số có 2 cực tiểu và một cực đại $\Leftrightarrow \left\{\begin{array} a> 0 \\ b< 0 \end{array}\right.$
+ Hàm số có 1 cực tiểu và 2 cực đại $\Leftrightarrow \left\{\begin{array} a< 0 \\ b> 0 \end{array}\right.$

2. Công thức giải nhanh

Giả sử hàm số $y=ax^{4}+bx^{2}+c\, (a\neq 0)$ có 3 cực trị: $A(0;c),B(-\sqrt{-\dfrac{b}{2a}};-\dfrac{\Delta }{4a}),C(\sqrt{-\dfrac{b}{2a}};-\dfrac{\Delta }{4a})$ tạo thành tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện $ab<0$

Đặt: $\widehat{BAC}=\alpha$

Tổng quát: $\cot^{2}\dfrac{\alpha }{2}=-\dfrac{b^{3}}{8a}$

 

[Timeless time]

4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

4.1 Định nghĩa
Cho hàm số $y=f(x)$ có tập xác định trên tập $D$
+ M là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $D$ nếu: [tex]\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M,\forall x\in D & \\ \exists x_{o}\in D,f(x_{o})=M & \end{matrix}\right.[/tex]
Kí hiệu: [tex]M=\underset{x\in D}{max}f(x)[/tex]
+ m là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $D$ nếu: [tex]\left\{\begin{matrix} f(x)\geq m,\forall x\in D & \\ \exists x_{o}\in D,f(x_{o})=m & \end{matrix}\right.[/tex]
Kí hiệu: [tex]m=\underset{x\in D}{min}f(x)[/tex]

4.2 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

+ Tìm GTLN,GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
Bước 1: Tính $f'(x)$ và tìm các điểm [tex]x_{1},x_{2},...,x_{n}\in D[/tex] mà tại đó [tex]f'(x)=0[/tex] hoặc hàm số không xác định
Bước 2: Lập BBT rồi suy ra GTLN,GTNN của hàm số

+ Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một đoạn
Bước 1:
- Hàm số đã cho $y=f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn [tex][a;b][/tex]
- Tìm các điểm [tex]x_{1},x_{2},...,x_{n}[/tex] trên khoảng $(a;b)$, tại đó $f'(x)=0$ hoặc hàm số không xác định
Bước 2:
Tính [tex]f(a),f(x_{1}),f(x_{2}),...,f(x_{n}),f(b)[/tex]
Bước 3:
Khi đó
- [tex]\underset{[a;b]}{max}f(x)=max\left \{ f(a),f(x_{1}),f(x_{2}),..,f(x_{n}),f(b) \right \}[/tex]
- [tex]\underset{[a;b]}{min}f(x)=min\left \{ f(a),f(x_{1}),f(x_{2}),..,f(x_{n}),f(b) \right \}[/tex]

+ Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một khoảng
Bước 1: Tính đạo hàm của $f'(x)$
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm [tex]x_{i}\in (a;b)[/tex] của phương trình, $f'(x)=0$ và tất cả các điểm [tex]\alpha _{i}\in (a;b)[/tex] làm cho $f'(x)$ không xác định
Bước 3: Tính [tex]A=\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x),B=\underset{x\rightarrow b^{-}}{lim}f(x),f(x_{i}),f(\alpha _{i})[/tex]
Bước 4: So sánh các giá trị tính được và kết luận [tex]M=\underset{[a;b]}{max}f(x),m=\underset{[a;b]}{min}f(x)[/tex]
- Nếu GTLN,GTNN là $A$ hoặc $B$ thì kết luận không có GTLN,GTNN
- Nếu $f(x)$ đồng biến trên $[a;b]$ thì [tex]\left\{\begin{matrix} \underset{[a;b]}{min}f(x)=f(a) & \\ \underset{[a;b]}{max}f(x)=f(b) & \end{matrix}\right.[/tex]
- Nếu $f(x)$ nghịch biến trên $[a;b]$ thì [tex]\left\{\begin{matrix} \underset{[a;b]}{max}f(x)=f(a) & \\ \underset{[a;b]}{min}f(x)=f(b) & \end{matrix}\right.[/tex]

 

[Timeless time]

5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

5.1 Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên một khoảng vô hạn. Đường thẳng [tex]y=y_{o}[/tex] là đường tiệm cận ngang của đồ thị $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: [tex]\underset{x\rightarrow +\infty }{Lim}f(x)=y_{o},\underset{x\rightarrow +\infty }{Lim}f(x)=y_{o}[/tex]
5.2 Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng [tex]x=x_{o}[/tex] được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: [tex]\underset{x\rightarrow x_{o}^{+}}{Lim}=+\infty,\underset{x\rightarrow x_{o}^{-}}{Lim}=-\infty ,\underset{x\rightarrow x_{o}^{+}}{Lim}=-\infty ,\underset{x\rightarrow x_{o}^{-}}{Lim}=+\infty[/tex]

Lưu ý: Về hàm phân thức dạng [tex]y=\frac{ax+b}{cx+d}(c\neq 0,ad-bc\neq 0)[/tex] luôn có tiệm cận ngang là [tex]y=\frac{a}{c}[/tex], và tiệm cận đứng là [tex]x=-\frac{d}{c}[/tex]

 

[Timeless time]

6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

6.1 Sơ đồ khảo sát hàm số
Cho hàm số $y=f(x)$
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2: Sự biến thiên
+ Chiều biến thiên

• Tính $y'$
• Tìm các nghiệm phương trình $y'=0$ và các điểm tại đó $y'$ không xác định
• Xét dấu $y'$ và suy ra các khoảng biến thiên của hàm số

+ Tìm cực trị (nếu có)
+ Tìm các giới hạn tại [tex]\pm \infty[/tex] và tại các điểm mà hàm số không xác định
+ Tìm các đường tiệm cận của hàm số (nếu có)
+ Lập bảng biến thiên
Bước 3: Đồ thị
+ Liệt kê các điểm đặc biệt (điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm tâm đối xứng,..)
+ Xác định giao điểm của đồ thị với $Ox,Oy$ (nếu có)
+ Vẽ đồ thị
6.2 Khảo sát một số hàm đa thức và phân thức

a. Hàm bậc 3 ([tex]y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d(a\neq 0)[/tex])


b. Hàm trùng phương ([tex]y=ax^{4}+bx^{2}+c(a\neq 0)[/tex])



c. Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất ([tex]y=\frac{ax+b}{cx+d}(c\neq 0,ad-bc\neq 0)[/tex])

 

[Timeless time]

Phần 2: Mũ và Logarit
1. Lũy thừa và hàm số lũy thừa

1.1 Khái niệm lũy thừa
+ Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là số nguyên dương.
- Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a
[tex]a^{n}=a.a....a[/tex] (n là thừa số)
- Với [tex]a\neq 0[/tex]
[tex]a^{0}=1;a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}[/tex]
+ Một số tích chất của lũy thừa
- Giả thuyết cho rằng biểu thức được xét đều có nghĩa
[tex]a^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta };\frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta };(a^{\alpha })^{\beta }=a^{\alpha .\beta };(ab)^{\alpha }=a^{\alpha }.b^{\alpha };(\frac{a}{b})^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }};(\frac{a}{b})^{-\alpha }=(\frac{b}{a})^{\alpha }[/tex]
- Nếu [tex]a> 1[/tex] thì [tex]a^{\alpha }> a^{\beta }\Leftrightarrow \alpha > \beta[/tex]
- Nếu [tex]0< a< 1[/tex] thì [tex]a^{\alpha }> a^{\beta }\Leftrightarrow \alpha < \beta[/tex]
- Với [tex]0< a< b[/tex] ta có [tex]a^{m}< b^{m}\Leftrightarrow m> 0;a^{m}> b^{m}\Leftrightarrow m< 0[/tex]

Chú ý :

• Các tích chất trên đúng với trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên
• Khi xét lũy thừa với sô mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0
• Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

+ Một số tính chất căn bậc n
[tex]\sqrt[2n]{a^{2n}}=\left | a \right |;\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}}=a;\sqrt[n]{a^{m}}=(\sqrt[n]{a})^{m}(a> 0,n\in \mathbb{Z}^{+},m\in \mathbb{Z})[/tex]
1.2 Hàm số lũy thừa
+ Khái niệm
Xét hàm số [tex]y=x^{\alpha }[/tex] với [tex]\alpha[/tex] là số thực cho trước
Hàm số [tex]y=x^{\alpha },\alpha \in \mathbb{R}[/tex] được gọi là hàm số lũy thừa

Chú ý:
Tập xác định của hàm số lũy thừa [tex]y=x^{\alpha }[/tex] tùy thuộc vào giá trị của [tex]\alpha[/tex]. Cụ thể:

• Với [tex]\alpha[/tex] nguyên dương tập xác định là [tex]\mathbb{R}[/tex]
• Với [tex]\alpha[/tex] nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là [tex]\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}[/tex]
• Với [tex]\alpha[/tex] không nguyên, tập xác định là [tex](0;+\infty )[/tex]

+ Khảo sát hàm số lũy thừa



+ Đồ thị của hàm số ( ĐTHS [tex]y=x^{\alpha }[/tex] [tex]y=x^{\alpha }[/tex] luôn đi qua điểm $I(1;1)$



+ Khảo sát hàm số mũ [tex]y=x^{\alpha }(a> 0;a\neq 1)[/tex]

 

[Timeless time]

2. Logarit và hàm số logarit

2.1 Khái niệm - tính chất và quy tắc tính logarit

+ Khái niệm logarit
Cho 2 số dương $a$ và $b$ với [tex]a\neq 1[/tex]. Số [tex]\alpha[/tex] thỏa mãn đẳng thức [tex]a^{\alpha }=b[/tex] được gọi là logarit cơ số $a$ của $b$. Kí hiệu là [tex]log_{a}^{b}[/tex]
[tex]\alpha =log_{a}^{b}\Leftrightarrow a^{\alpha }=b[/tex]
Chú ý: Không có logarit của số 0 và số âm

+ Bảng tóm tắt công thức mũ - logarit thường gặp

2.2 Bất phương trình mũ và logarit

+ Bất phương trình mũ cơ bản
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng [tex]a^{x}> b[/tex] (hoặc [tex]a^{x}\geq b,a^{x}< b,a^{x}\leq b[/tex]) với [tex]a> 0,a\neq 1[/tex]
Ta xét bất phương trình có dạng [tex]a^{x}> b[/tex]
- Nếu [tex]b\leq 0[/tex] tập nghiệm của bất phương trình là [tex]\mathbb{R}[/tex], vì [tex]a^{x}> b,\forall x\in \mathbb{R}[/tex]
- Nếu [tex]b> 0[/tex] thì bất phương trình tương đương với [tex]a^{x}> a^{log_{a}^{b}}[/tex]
- Với [tex]a> 1[/tex], nghiệm của bất phương trình là [tex]x> log_{a}^b{}[/tex]
- Với [tex]0< a< 1[/tex], nghiệm của bất phương trình là [tex]x< log_{a}^{b}[/tex]

+ Bất phương trình logarit cơ bản
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng [tex]log_{a}x > b[/tex] ( hoặc [tex]log_{a}x\geq b,log_{a}x< b,log_{a}x\leq b[/tex]) với [tex]a> 0,a\neq 1[/tex]
Xét bất phương trình [tex]log_{a}x> b[/tex]
- Trường hợp [tex]a > 1[/tex], ta có: [tex]log_{a}x> b\Leftrightarrow x > a^{b}[/tex]
- Trường hợp [tex]0< a< 1[/tex], ta có: [tex]log_{a}x> b\Leftrightarrow 0< x< a^{b}[/tex]

 

[Timeless time]

Phần 3: Nguyên hàm tích phân - Ứng dụng của tích phân

1. Nguyên hàm

1.1 Định nghĩa
Cho hàm $f(x)$ xác định trên $K$ ($K$ là khoảng, đoạn hay nửa khoảng)
Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x)=f(x)$ với mọi [tex]x\in K[/tex]
Kí hiệu: [tex]\int f(x)dx=F(x)+C[/tex]

1.2 Tích chất

• [tex](\int f(x)dx)'=f(x)[/tex]
• [tex]\int kf(x)dx=k\int f(x)dx[/tex] với $k$ là hằng số khác 0
• [tex]\int \left [ f(x)\pm g(x) \right ]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx[/tex]

1.3 Một số công thức nguyên hàm thường gặp

• [tex]\int u^{\alpha }du=\frac{u^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C[/tex]
• [tex]\int \frac{du}{u}=ln\left | u \right |+C[/tex]
• [tex]\int a^{u}du=\frac{a^{u}}{lna}+C[/tex]
• [tex]\int \frac{dx}{(ax+b)(cx+d)}=\frac{1}{ad-bc}ln\left | \frac{ax+b}{cx+d} \right |+C[/tex]
• [tex]\int sinu.du=-cosu+C[/tex]
• [tex]\int cosu.du=sinu+C[/tex]
• [tex]\int \frac{du}{cos^{2}u}=tanu+C[/tex]
• [tex]\int \frac{du}{sin^{2}u}=-cotu+C[/tex]

1.4 Nguyên hàm từng phần
Nếu $u(x),v(x)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:
[tex]\int u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)-\int v(x).u'(x)dx[/tex]
Hay [tex]\int udv=uv-\int vdu[/tex] (với [tex]du=u'(x)dx,dv=v'(x)dx[/tex] )

Phương pháp chung
+ Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
[tex]I=\int f(x)dx=\int f_{1}(x).f_{2}(x)dx[/tex]
+ Bước 2: Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} u=f_{1}(x) & \\ dv=f_{2}(x) & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} du=f_{1}'(x)dx & \\ v=\int f_{2}(x)dx & \end{matrix}\right.[/tex]
+ Bước 3: Khi đó: [tex]\int u.dv=u.v-\int v.du[/tex]

 

[sduma1235]

3. Các dạng toán về cực trị hàm số

3.1 Cực trị của hàm đa thức bậc 3

Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán tổng quát: Cho hàm số $y=f(x;m)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $K$ cho trước
Phương pháp:
+ Bước 1:

• Tìm tập xác định $D=\mathbb{R}$
• Đạo hàm $y'=3ax^{2}+2bx+c$

+ Bước 2:
Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt và $y'$ đổi dấu qua 2 nghiệm đó
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I} 3a\neq 0 \\ \Delta _{y'}=4b^{2}-12ac> 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I} a\neq 0 \\ b^{2}-3ac> 0 \end{array}\right.\Rightarrow m\in D_{1}$

+ Bước 3: Gọi $x_{1},x_{2}$ là nghiệm của phương trình $y'=0$
Khi đó: $\left\{\begin{array}{I} x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2b}{3a}& \\ x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{3a} & \end{array}\right.$

+ Bước 4: Biến đổi điều kiện $K$ về dạng tổng $S$ và tích $P$ . Từ đó giải ra được $m\in D_{2}$

+ Bước 5: Kết luận các giá trị $m$ thỏa mãn: $m=D_{1}\cap D_{2}$

* Chú ý: Hàm bậc 3 $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\, (a\neq 0)$

Ta có $y'=3ax^{2}+2bx+c$

Điều kiện	Kết luận
$b^{2}-3ac> 0$	Hàm số có 2 điểm cực trị
$b^{2}-3ac\leq 0$]	Hàm số không có cực trị

[TBODY] [/TBODY]

Tìm điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu hoặc trái dấu

+ Hàm số có 2 cực trị trái dấu $\Leftrightarrow y'=0$có 2 nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow ac< 0$
+ Hàm số có 2 nghiệm cùng dấu $\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm cùng dấu $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I} \Delta_{y'}> 0 & \\ x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{c}{3a}> 0 \end{array}\right.$
+ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu dương $\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt dương $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I} \Delta _{y'}> 0 \\ x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{c}{3a}> 0 \\ x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2b}{3a}> 0 \end{array}\right.$
+ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu âm $\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt âm $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I} \Delta _{y'}> 0 \\ x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{c}{3a}> 0 \\ x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2b}{3a}< 0 \end{array}\right.$

Dạng 2: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng.

Vị trí tương đối giữa hai điểm với đường thẳng:

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về một phía đối với trục $Oy$
$\Leftrightarrow$ hàm số có 2 cực trị cùng dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thi nằm cùng về hai phía đối với trục $Oy$
$\Leftrightarrow$ hàm số có 2 cực trị trái dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về một phía đối với trục $Ox$
$\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt và $y_{\text{CĐ}}\cdot y_{\text{CT}}> 0$

3.2 Cực trị hàm trùng phương

1. Các kiến thức cần nhớ

+ Hàm số có 1 cực trị $\Leftrightarrow ab\geq 0$
+ Hàm số có 3 cực trị $ab< 0$
+ Hàm số có đúng 1 cực trị và cực trị là cực tiểu $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I} a> 0 \\ b\geq 0 \end{array}\right.$
+ Hàm số có đúng 1 cực trị và cực trị là cực đại $\Leftrightarrow \left\{\begin{array} a< 0 \\ b\leq 0 \end{array}\right.$
+ Hàm số có 2 cực tiểu và một cực đại $\Leftrightarrow \left\{\begin{array} a> 0 \\ b< 0 \end{array}\right.$
+ Hàm số có 1 cực tiểu và 2 cực đại $\Leftrightarrow \left\{\begin{array} a< 0 \\ b> 0 \end{array}\right.$

2. Công thức giải nhanh

Giả sử hàm số $y=ax^{4}+bx^{2}+c\, (a\neq 0)$ có 3 cực trị: $A(0;c),B(-\sqrt{-\dfrac{b}{2a}};-\dfrac{\Delta }{4a}),C(\sqrt{-\dfrac{b}{2a}};-\dfrac{\Delta }{4a})$ tạo thành tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện $ab<0$

Đặt: $\widehat{BAC}=\alpha$

Tổng quát: $\cot^{2}\dfrac{\alpha }{2}=-\dfrac{b^{3}}{8a}$

View attachment 183460 View attachment 183461

Bị lỗi mất mấy dấu hơi khó hiểu tí