- 19 Tháng tám 2018
- 2,749
- 6,038
- 596
- 23
- Thái Bình
- Đại học Y Dược Thái Bình
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Xin chào các bạn, để giúp các bạn có sự chuẩn bị tốt cho kì thi THPTQG,ở topic này mình sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức toán 12 một cách hiệu quả và chi tiết nhất ^^Tổng hợp kiến thức toán 12 gồm 5 phần:
1. Phần 1: Hàm số
2. Phần 2. Mũ và Logarit
3. Phần 3. Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng tích phân
4. Phần 4. Số phức
5. Phần 5. Khối đa diện
Bắt đầu thôi nào
Phần 1: Hàm số
1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
1.1. Định nghĩa
Ở phần này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm về khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn. Từ đó khám phá các thuật ngữ về tính đồng biến, nghịch biến cơ bản hoặc trên các khoảng, các đoạn khác nhau. Đây là các dạng bài tập thường xuyên gặp trong phần này.
$\forall x_{1},x_{2}\in K,x_{1}< x_{2}$ ( $K$ là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng )
+ $f(x_{1})< f(x_{2})\Rightarrow y=f(x)$ đồng biến trên $K$ đồ thi đi lên từ trái sang phải
+ $f(x_{1})> f(x_{2})\Rightarrow y=f(x)$ nghịch biến trên $K$ đồ thi đi xuống từ trái sang phải
Chú ý:
+ Nếu $f'(x)> 0\forall x\in (a;b)\Rightarrow$ hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(a;b)$
+ Nếu $f'(x) < 0\forall x\in (a;b)\Rightarrow$ hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(a;b)$
+ Nếu $f'(x) = 0\forall x\in (a;b)\Rightarrow$ hàm số $f(x)$ không đổi trên $(a;b)$
+ Nếu $f(x)$ đồng biến trên $(a;b)\Rightarrow f'(x)\geq 0\, \forall x\in (a;b)$
+ Nếu $f(x)$ nghịch biến trên $(a;b) \Rightarrow f'(x)\leq 0\, \forall x\in (a;b)$
1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm
Đạo hàm là một trong những công cụ để giúp bạn giải quyết các bài toán hàm số nhanh gọn nhất. Do đó, nắm vững các công thức đạo hàm là điều dường như bắt buộc khi học toán. Các công thức đạo hàm bao gồm: Quy tắc tính, công thức tổng hiệu, tích, thương, đạo hàm là hàm hợp,…
Quy tắc tính đạo hàm: Cho $u=u(x); v=v(x) ;C:$ là hằng số
+ Tổng, hiệu: $(u\pm v)'=u'\pm v'$
+ Tích: $(u\cdot v)'=u'\cdot v+v'\cdot u\Rightarrow (C\cdot u)'=C\cdot u'$
+ Thương: $\left ( \dfrac{u}{v} \right )'=\dfrac{u'v-v'u}{v^{2}},(v\neq 0)\Rightarrow \left ( \dfrac{C}{u} \right )'=-\dfrac{C\cdot u'}{u^{2}},(u\neq 0)$
Bảng công thức tính đạo hàm
| Đạo hàm của hàm sơ cấp | Đạo hàm của hàm hợp |
| $(C)'=0$ ($C$ là hằng số) | |
| $(x^{\alpha })'=\alpha \cdot x^{\alpha -1}$ $\left ( \dfrac{1}{x} \right )'=-\dfrac{1}{x^{2}},\, (x\neq 0)$ $(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}},(x> 0)$ | $(u^{\alpha })'=\alpha\cdot u^{\alpha -1}\cdot u'$ $\left ( \dfrac{1}{u} \right )'=-\dfrac{u'}{u^{2}},\, (u\neq 0)$ $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}},\, (u\neq 0)$ |
| $(\sin x)'=\cos x$ | $(\sin u)'=u'\cdot \cos x$ |
| $(\cos x)'=-\sin x$ | $(\cos u)'=-u'\cdot \sin u$ |
| $(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$ | $(\tan u)'=\dfrac{u'}{\cos^{2}u}$ |
| $(\cot x)'=-\dfrac{1}{\sin^{2}x}$ | $(\cot u)'=-\dfrac{u'}{\sin^{2}u}$ |
| $(e^{x})'=e^{x}$ | $(e^{u})'=u'\cdot e^{u}$ |
| $(a^{x})'=a^{x}\cdot \ln a$ | $(a^{u})'=u'\cdot a^{u}\cdot\ln a$ |
| $(\ln\left | x \right |)'=\dfrac{1}{x}$ | $(\ln\left | u \right |)'=\dfrac{u'}{u}$ |
| $(\log_{a}\left | x \right |)'=\dfrac{1}{x\cdot \ln a}$ | $(\log_{a}\left | u \right |)'=\dfrac{u'}{u\cdot \ln a}$ |
Một số lưu ý cần thiết
+ Nếu hàm $f(x)$ và $g(x)$ cùng đồng biến (nghịch biến) trên $K$ thì hàm số $f(x)+g(x)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên $K$. Tính chất này có thể không đúng với hiệu $f(x)-g(x)$
+ Nếu hàm $f(x)$ và $g(x)$ là các số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên $K$ thì hàm $f(x)\cdot g(x)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên $K$. Tính chất này có thể không đúng khi hàm $f(x),g(x)$ không là các hàm số dương trên $K$
+ Cho hàm $u=u(x)$ xác định với $x\in (a;b)$ và $u(x)\in (c;d)$. Hàm số $f[u(x)]$ cũng xác định với $x\in (a;b)$
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
- Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên $K$
+ Nếu $f'(x)\geq 0\forall x\in K,f'(x)=0$ chỉ tại 1 số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $K$
+ Nếu$f'(x)\leq 0\forall x\in K,\, f'(x)=0$ chỉ tại 1 số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $K$
Chú ý : Đối với hàm phân thức hữu tỉ $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\left(x\neq -\dfrac{d}{c}\right)$ thì dấu $"="$ khi xét dấu đạo hàm $y'$ không xảy ra
- Giả sử $y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\Rightarrow f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$
+ Hàm đồng biến trên$\mathbb{R}\Leftrightarrow f'(x)\geq 0\, \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a> 0 & \\ \Delta \leq 0 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} a=0 & & \\ b=0 & & \\ c > 0 & & \end{matrix}\right.$
+ Hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow f'(x)\leq 0\, \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a< 0 & \\ \Delta \leq 0 & \end{matrix}\right.$ hoặc$\left\{\begin{matrix} a=0 & & \\ b=0 & & \\ c< 0 & & \end{matrix}\right.$
Chú ý : Đường thẳng song song với trục $Ox$ thì không đơn điệu
