- 22 Tháng tám 2021
- 1,199
- 2,902
- 346
- 21
- Gia Lai
- THPT Chuyên Hùng Vương
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Hello cả nhà, sau bao ngày ấp ủ thì topic [Ôn thi THPTQG 2022] chính thức bắt đầu rồi đây, mở đầu là chương 1, chương dài nhất của lớp 12. Ở đây chị sẽ tổng hợp lý thuyết những câu dễ sai, những tips làm bài, cách casio, bài tập từ cơ bản đến nâng cao, cuối chương sẽ có đề kiểm tra tổng hợp cả chương đó nữa,... vân vân và mây mây. Để soạn ra những kiến thức sát với kì thi nhất, box Toán dù rất bận với việc học nhưng vẫn cố gắng tạo ra topic này để hỗ trợ tụi em đạt được kết quả tốt trong kì thi sắp tới. Nên chị rất mong là tụi em sẽ theo dõi và tương tác, như là một lời cảm ơn đến tụi chị. Bắt đầu nào!CHƯƠNG 1 : ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
I-TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Lý thuyết
*Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên [imath]I[/imath] được gọi chung là hàm số đơn điệu trên [imath]I[/imath] (với [imath]I[/imath] là một khoảng (đoạn), nửa khoảng (nửa đoạn)).
*Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm:
Cho hàm số [imath]y=f(x)[/imath] có đạo hàm trên [imath]I[/imath]
· Nếu [imath]f’(x) >0[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thuộc [imath]I[/imath] thì hàm số [imath]f(x)[/imath] đồng biến trên [imath]I[/imath]
· Nếu [imath]f’(x)<0[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thuộc [imath]I[/imath] thì hàm số [imath]f(x)[/imath] nghịch biến trên [imath]I[/imath]
Tóm lại, trên [imath]I[/imath]
[imath]\left\{\begin{matrix} f’(x) >0 \implies f(x) \quad \text{đồng biến} \\ f’(x) < 0 \implies f(x) \quad \text{ nghịch biến} \end{matrix} \right.[/imath]
Chú ý: Nếu [imath]f’(x)=0[/imath], [imath]\forall x \in I[/imath] thì [imath]f(x)[/imath] không đổi trên [imath]I[/imath]
Ở đây hay xuất hiện những câu hỏi lý thuyết gây nhầm lẫn, nếu khẳng định ngược lại với định lý trên thì điều đó có đúng không? Trước hết hãy xem ví dụ sau:
| Ví dụ 1: Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số [imath]y=f(x)[/imath] đồng biến trên khoảng [imath](a;b)[/imath] khi và chỉ khi [imath]f’(x) \geq 0[/imath], [imath]\forall x \in (a;b)[/imath] B. Nếu [imath]f’(x) \geq 0[/imath], [imath]\forall x \in (a;b)[/imath] thì hàm số [imath]y=f(x)[/imath] đồng biến trên khoảng [imath](a;b)[/imath] C. Hàm số [imath]y=f(x)[/imath] đồng biến trên khoảng [imath](a;b)[/imath] khi và chỉ khi [imath]f’(x) > 0[/imath], [imath]\forall x \in (a;b)[/imath] D. Nếu [imath]f’(x) > 0[/imath], [imath]\forall x \in (a;b)[/imath] thì hàm số [imath]y=f(x)[/imath] đồng biến trên khoảng [imath](a;b)[/imath] |
Để trả lời được câu hỏi này, ta cùng đến với một định lý mở rộng sau:
Giả sử hàm số [imath]y=f(x)[/imath] có đạo hàm trên [imath]I[/imath].
Nếu [imath]f’(x) \geq 0[/imath] [imath]\left(f’(x) \leq 0 \right)[/imath], [imath]\forall x \in I[/imath] và [imath]f’(x)=0[/imath] chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên [imath]I[/imath]
Chắc bây giờ các bạn cũng có câu trả lời cho ví dụ trên rồi nhỉ. Nhưng khoan, hãy làm thêm 2 ví dụ sau để hiểu rõ hơn những câu trắc nghiệm lý thuyết này nha.
| Ví dụ 2: Cho hàm số [imath]y=f(x)[/imath] có đạo hàm trên [imath]K[/imath]. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Nếu [imath]f’(x) \geq 0[/imath], [imath]\forall x \in K[/imath] thì hàm số [imath]f(x)[/imath] đồng biến trên [imath]K[/imath] B. Nếu [imath]f’(x) > 0[/imath], [imath]\forall x \in K[/imath] thì hàm số [imath]f(x)[/imath] nghịch biến trên [imath]K[/imath] C. Nếu [imath]f’(x) < 0[/imath], [imath]\forall x \in K[/imath] thì hàm số [imath]f(x)[/imath] nghịch biến trên [imath]K[/imath] D. Nếu [imath]f’(x) \leq 0[/imath], [imath]\forall x \in K[/imath] thì hàm số [imath]f(x)[/imath] nghịch biến trên [imath]K[/imath] |
Tiếp tục một câu lý thuyết nữa nào:
| Ví dụ 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu [imath]f’(x) > 0[/imath], [imath]\forall x \in K[/imath] thì hàm số f’(x) đồng biến trên [imath]K[/imath] B. Nếu [imath]f’(x) \geq 0[/imath], [imath]\forall x \in K[/imath] và dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số [imath]f(x)[/imath] đồng biến trên [imath]K[/imath] C. Hàm số [imath]y=f(x)[/imath] là hàm hằng trên [imath]K[/imath] khi [imath]f’(x)=0[/imath], [imath]\forall x\in \mathbb{R}[/imath] D. Nếu [imath]f’(x) >0[/imath], [imath]\forall x \in K[/imath] thì hàm số [imath]f(x)[/imath] nghịch biến trên [imath]K[/imath] |
1. D 2.C 3.D
Lưu ý: Khi nói đến [imath]f’(x) \geq 0[/imath] hay [imath]f’(x) \leq 0[/imath] thì cần thêm [imath]f’(x)=0[/imath] tại hữu hạn điểm, khi đó mới kết luận được rằng đồng biến hay nghịch biến
Đối với những câu lý thuyết, các bạn để ý đến lưu ý mình vừa nêu trên thì sẽ không bị nhầm lẫn nữa nha.
2. Bài tập
2.1.Dạng 1: Bài toán không chứa tham số
2.1.1. Ví dụ minh hoạ
| Ví dụ 1: Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số [imath]y=\dfrac{2x+1}{x+1}[/imath] là đúng? A. Hàm số đồng biến trên các khoảng [imath](-\infty;-1)[/imath] và [imath](-1;+\infty)[/imath] B. Hàm số luôn đồng biến trên [imath]\mathbb{R} \backslash \left\{-1\right\}[/imath] C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng [imath](-\infty;-1)[/imath] và [imath](-1;+\infty)[/imath] D. Hàm số luôn nghịch biến trên [imath]\mathbb{R} \backslash \left\{-1\right\}[/imath] |
Lời giải:
Cách 1: Đạo hàm, xét tính biến thiên
ĐK: [imath]x \ne -1[/imath]
TXĐ: [imath]D=(-\infty;-1) \cup (-1;+\infty)[/imath]
[imath]y’=\dfrac{1}{(x+1)^2}[/imath]
Ta thấy [imath]y’>0,\quad \forall x \in D \implies[/imath] hàm số đồng biến trên [imath]D[/imath]
Nhưng nhìn đáp án nhiều bạn sẽ không biết chọn câu A hay B vì [imath](-\infty;-1)[/imath] và [imath](-1;+\infty)[/imath] cũng có khác gì [imath]\mathbb{R} \backslash \left\{-1\right\}[/imath] đâu nhỉ? Nhưng ở những câu như này thì nó đơn điệu trên từng khoảng xác định, do đó cách viết ở câu A mới đúng, lưu ý nha. Làm ẩu là khoanh nhầm câu B liền, qua các năm thường thấy học sinh nhầm lẫn ở câu này rất nhiều. Nên cẩn thận nha cả nhà yêu.
Cách 2: Casio
Đối với Casio 580VNX
1. Menu 8, nhập hàm số cần tính.
2. Bắt đầu: Nhập [imath]x[/imath] bắt đầu từ đâu.
3. Kết thúc: Nhập [imath]x[/imath] kết thúc ở đâu.
4. Bước: Bước nhảy giữa các giá trị, tính từ điểm đầu mút. Ở đây thường sẽ xác định bước nhảy như sau [imath]\dfrac{\text{Kthúc-Bđầu}}{20}[/imath] (còn tuỳ theo cái khoảng của mình lớn hay nhỏ để xác định bước nhảy)
Áp dụng vào bài trên: Lấy giá trị bất kì tượng trưng cho [imath]\infty[/imath]
1. Menu 8, nhập: [imath]f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}[/imath] ấn “=” bỏ qua [imath]g(x)[/imath]
2. Bđầu: Nhập “[imath]-5[/imath]” =
3. Kthúc: Nhập “[imath]5[/imath]” =
4. Bước: Nhập [imath]0.5[/imath] = (càng nhỏ thì càng chính xác)
Sau khi nhập, ta nhận thấy [imath]x[/imath] chạy từ [imath]-5[/imath] đến [imath]-1[/imath] thì giá trị [imath]f(x)[/imath] tăng, tức là hàm đống biến trên [imath](-\infty;-1)[/imath]. Tại [imath]x=-1 \quad f(x)[/imath] hiện ERROR. Còn [imath]x[/imath] chạy từ [imath]-1[/imath] đến [imath]5[/imath] thì giá trị [imath]f(x)[/imath] của hàm số giảm, tức hàm số nghịch biến trên [imath](-1;+\infty)[/imath]. Chọn A
Đối với Vinacal 570 VN PLUS II
1. MODE 7, nhập hàm số cần tính
2. START? [imath]x[/imath] chạy từ đâu
3. END? [imath]x[/imath] kết thúc ở đâu
4. STEP? Bước nhảy giữa các giá trị, tính giống trên Casio 580
| Ví dụ 2: Cho hàm số [imath]\dfrac{x}{2}+\sin ^2x[/imath] [imath]x \in [0;\pi][/imath]. Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào? [imath]A. \left(0;\dfrac{7\pi}{12}\right)[/imath] và [imath]\left(\dfrac{11\pi}{12};\pi\right)[/imath] [imath]B. \left(\dfrac{7\pi}{12};\dfrac{11\pi}{12}\right)[/imath] [imath]C. \left(0;\dfrac{7\pi}{12}\right)[/imath] và [imath]\left(\dfrac{7\pi}{12};\dfrac{11\pi}{12}\right)[/imath] [imath]D. \left(\dfrac{7\pi}{12};\dfrac{11\pi}{12}\right)[/imath] và [imath]\left(\dfrac{11\pi}{12};\pi\right)[/imath] (Trích chuyên đề 1.1 Toán học Bắc Trung Nam) |
Lời giải:
TXĐ: [imath]D=\mathbb{R}[/imath]
Ta có [imath]y’=\dfrac{1}{2}+\sin 2x=0[/imath]
[imath]\iff \sin 2x=-\dfrac{1}{2}[/imath]
[imath]\iff \left[\begin{matrix} x=-\dfrac{\pi}{12}+k\pi \\ x=\dfrac{7\pi}{12}+k\pi \end{matrix} \right.[/imath]
Vì [imath]x \in [0;\pi][/imath] nên có 2 giá trị [imath]x=\dfrac{7\pi}{12}[/imath] và [imath]x=\dfrac{11\pi}{12}[/imath]
Bảng biến thiên
[imath]\begin{array}{c|ccccccc} x & 0 & & \dfrac{7\pi}{12} & & \dfrac{11\pi}{12} & & \pi \\ \hline y' & || & + & 0 & - & 0 & + & || \\ \hline & & & f(\dfrac{7\pi}{12}) & & & & \dfrac{\pi}2 \\ & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ y & 0 & & & & f(\dfrac{11\pi}{12}) & & \end{array}[/imath]
Vậy hàm số đồng biến trên [imath]\left(0;\dfrac{7\pi}{12}\right) \text{và} \left(\dfrac{11\pi}{12};\pi\right)[/imath]
Chọn đáp án A
2.1.2. Bài tập tương tự
Câu 1: Cho hàm số [imath]y=\dfrac{x-2}{x-1}[/imath]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên [imath]\mathbb{R}\setminus \{1\}[/imath]
B. Hàm số đồng biến trên [imath]\mathbb{R}\setminus \{1\}[/imath]
C. Hàm số đơn điệu trên [imath]\mathbb{R}[/imath]
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng [imath](-\infty;1)[/imath] và [imath](1;+\infty)[/imath]
Câu 2: Cho hàm số [imath]y=x-2\sqrt{x}[/imath]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng [imath]\left({2;+\infty}\right)[/imath]
B. Hàm số đồng biến trên khoảng [imath]\left({0;+\infty}\right)[/imath]
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng [imath]\left({-\infty;1}\right)[/imath]
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng [imath]\left({1;+\infty}\right)[/imath]
Câu 3: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số [imath]y=x^3-3x^2+1.[/imath]
A. [imath](-\infty;-1)[/imath] và [imath](1;+\infty)[/imath]
B. [imath](-1;1)[/imath]
C. [imath](-\infty;0)[/imath] và [imath](2;+\infty)[/imath]
D. [imath](0;2)[/imath]
Câu 4: Hàm số [imath]y=\sqrt{8+2x-x^{2}}[/imath] đồng biến trong khoảng nào dưới đây?
A. [imath](1;4)[/imath]
B. [imath](-2;1)[/imath]
C. [imath](-\infty;1)[/imath]
D. [imath](1;+\infty)[/imath]
Câu 5: Cho hàm số [imath]y=-x^3+3x^2+9x-1[/imath]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng [imath]\left(-\infty ;-1\right)[/imath], [imath]\left(3;+\infty \right)[/imath]; nghịch biến trên [imath]\left(-1;3\right)[/imath]
B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng [imath]\left(-\infty ;-3\right)[/imath], [imath]\left(1;+\infty \right)[/imath]; nghịch biến trên [imath]\left(-3;1\right)[/imath]
C. Hàm số đồng biến trên [imath]\left(-1;3\right)[/imath], nghịch biến trên mỗi khoảng [imath]\left(-\infty ;-1\right)[/imath], [imath]\left(3;+\infty \right)[/imath]
D. Hàm số đồng biến trên [imath]\left(-1;3\right)[/imath], nghịch biến trên [imath]\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(3;+\infty \right)[/imath]
Câu 6: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên [imath]\mathbb{R}[/imath]?
A. [imath]y= x^3+3x+2[/imath]
B. [imath]y=x^4+2x^2+3[/imath]
C. [imath]y=2x^2[/imath]
D. [imath]y=\dfrac{x}{x+2}[/imath]
Topic sẽ tiếp tục được cập nhật....
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022
Last edited:
Giờ chắc mấy đứa cũng ngủ hết rồi nhỉ, vì mới làm bài tập xong nên giờ mới tranh thủ đăng bài cho mấy đứa nè, soạn bài mệt xỉu mà hong ai tương tác hết buồn ghê hiuhiu
Công nhận chương 1 dài thật đấy, chưa hết bài nữa. Ở bài này thì cần nắm được dạng đồ thị của hàm bậc 3, bậc 4 là oke, khi nắm được dạng đồ thị các em có thể nhanh chóng nhìn ra dấu của các hệ số mà người ta hay bắt mình đi tìm có bao nhiêu giá trị âm, dương đấy.