Ôn thi HSG:

[ailatrieuphu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho; y>0 thỏa mãn: [TEX]x+y \leq 1[/TEX]. Tìm GTNN của: [TEX]A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy[/TEX]
2)Giải PT:
a)[TEX](\sqrt{x+5}-\sqrt{x+2})(\sqrt{x^2+7x+10}+1)=3[/TEX]
b)[TEX]\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}[/TEX]
c)[TEX]\frac{36}{\sqrt{x-2}}+\frac{4}{\sqrt{y-1}}=28-4\sqrt{x-2}-\sqrt{y-1}[/TEX]
3)Cho x; y; z>0;x+y+z=1.Tìm GTNN của: [TEX]P=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}[/TEX]
4)Cho x; y; z>0 thỏa mãn: [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy} \leq \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}[/TEX]
5)Tìm tất cả các số nguyên dương x; y; z thỏa mãn: [TEX]x+y+z>11[/TEX]; [TEX]8x+9y+10z=100[/TEX]
6)Cho a; b; c>0 thỏa mãn: [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab} \leq 2[/TEX]
7)Chứng minh không tồn tại [TEX]x; y \in Z[/TEX] thỏa mãn: [TEX]2012.x^{2015}+2013.y^{2018}=2015[/TEX]

 

[duc_2605]

2)Giải PT:
a)$(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+2})(\sqrt{x^2+7x+10}+1)=3$
$\sqrt{x^2+7x+10} = \sqrt{(x+2)(x+5)}$
Đặt $\sqrt{x+2} = a; \sqrt{x+5} = b$
pt trở thành $(a-b)(ab+1) = 3$ (coi là phương trình bậc 2 ẩn a hoặc ẩn b)
Giải delta.
b)[$\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}$
$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) ; x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$
chuyển vế rồi nhóm là ra.
c)$\frac{36}{\sqrt{x-2}}+\frac{4}{\sqrt{y-1}}=28-4\sqrt{x-2}-\sqrt{y-1}$
c) $x \ge 2; y \ge 1$
Chuyển vế rồi dùng cô-si:
$\dfrac{36}{\sqrt{x-2}} + 4\sqrt{x-2} \ge 2\sqrt{\dfrac{36}{\sqrt{x-2}}. 4\sqrt{x-2}} = 24$ (dấu đẳng thức xảy ra khi...)
TT: $VT \ge 28, VP = 28$ =>
6)Cho a; b; c>0 thỏa mãn: $a+b+c=1$. Chứng minh: $\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab} \le 2$
$a + bc = a(a+b+c) + bc = a(a+c) + b(a+c) = (a+b)(a+c)$
Làm tương tự với 2 hạng tử kia rồi áp dụng BĐT:
$\sqrt{AB} + \sqrt{BC} + \sqrt{AC} \le A + B + C$ là ra.

 

[leminhnghia1]

1,....

[TEX]A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy[/TEX]

[TEX]=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+\frac{5}{4xy}[/TEX]

Áp dụng bđt:

[TEX] \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy} \geq \frac{4}{(x+y)^2} \ \geq 4[/TEX]

[TEX]xy \ \leq \ \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4} \ => \ \frac{5}{4xy} \ \geq \frac{5}{4.\frac{1}{4}}=5[/TEX]

[TEX]\frac{1}{4xy}+4xy \ \geq 2[/TEX]

[TEX]=> A \geq \ 2+4+5=11[/TEX]

Vậy [TEX]Max A=11 <=> x=y=\frac{1}{2}[/TEX]

 

[hien_vuthithanh]

3)Cho x; y; z>0;x+y+z=1.Tìm GTNN của: $P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}$
4)Cho x; y; z>0 thỏa mãn: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$. Chứng minh: $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy} \le \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

3. $$P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\ge \dfrac{(1+2+3)^2}{x+y+z}=36$$


4. Xem lại đề : Phải là $\ge$

Ta có :

$$\sqrt{z+xy}\ge \sqrt{z}+\sqrt{\dfrac{xy}{z}}$$
$$\iff z+xy \ge z+\dfrac{xy}{z}+2\sqrt{xy}$$
$$\iff \sqrt{xy}\ge \dfrac{\sqrt{xy}}{z}+2$$
$$\iff \sqrt{xy}(1-\dfrac{1}{z})\ge 2$$
$$\iff \sqrt{xy}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}) \ge 2 (LĐ do \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{2}{\sqrt{xy}})$$

TT$$\Longrightarrow \sum \sqrt{z+xy}\ge \sum\sqrt{x}+ \sum\sqrt{\dfrac{xy}{z}}$$

Có : $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1 \iff \sqrt{xyz}=\sum \sqrt{\dfrac{xy}{z}}$$

$$\Longrightarrow \sum \sqrt{x+yz} \ge \sqrt{xyz}+\sum \sqrt{x}$$