Ôn thi HSG:

[ailatrieuphu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)a)Tìm GTNN của:
[TEX]A=xy(x-2)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36[/TEX]
b)Chứng minh rằng:
[TEX]n^3(n^2-7)^2-36n[/TEX] chia hết cho 210 với mọi [TEX]n \in Z[/TEX]
c)Xác định đa thức bậc 3: [TEX]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/TEX] thỏa mãn:
[TEX]f(x)-f(x-1)=x^2[/TEX] với mọi x
Từ đó tính tổng: [TEX]1^2+2^2+3^2+...+n^2[/TEX]
d)Cho [TEX]B=1.2.3+2.3.4+...+n(n+1)(n+2)[/TEX] [TEX](n \in Z^+)[/TEX]
Chứng minh rằng : [TEX]4D+1[/TEX] là 1 số chính phương.

 

[transformers123]

$A = xy(x - 2)(y + 6) + 12x^2 - 24x + 3y^2 + 18y + 36$

$\iff P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x(x - 2) + 3y(y + 6) + 36$

$\iff P = [ 12x(x - 2) + 36 ] + xy(x - 2)(y + 6) + 3y(y + 6)$

$\iff P = 12[x(x - 2) + 3] + y(y + 6)[x(x - 2) + 3]$

$\iff P = [x(x - 2) + 3][y(y + 6) + 12]$

$\iff P = (x^2 - 2x + 3)(y^2 + 6y + 12)$

$\iff P = [(x - 1)^2 + 2][(y + 3)^2 + 3] \ge 2.3$

$\iff P \ge 6$

Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}x=1\\y=-3\end{cases}$

 

[thaotran19]

Câu 1:
b) $x^3(x^2 - 7 )^2 - 36x = x[( x^3 - 7x)^2 - 36]$
$= x(x^3 - 7x - 6)( x^3 - 7x + 6 ) = x(x^3 - x - 6x - 6)( x^3 - x - 6x + 6 )$
$= x[x(x - 1 )( x + 1) - 6( x+ 1)][ x(x - 1 )( x + 1) - 6( x- 1)]$
$= x(x + 1 )(x^2 - x - 6)(x - 1 )( x^2 + x - 6 )$
$= x(x + 1 )(x^2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x^2 +3x - 2x - 6 )$
$= x(x + 1 )(x^2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x^2 + 3x - 2x - 6 )$
$= x(x + 1 )( x - 1 )[(x(x - 3 ) + 2( x - 3 )][(x(x + 3 ) - 2( x + 3 )]$
$= x(x + 1 )( x - 1 ) (x - 3 )(x + 2 ) ( x - 2 )( x + 3 )$
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp . Trong 7 số nguyên liên tiếp có :
- Một bội của 2 nên A chia hết cho 2.
- Một bội của 3nên A chia hết cho 3.
- Một bội của 5 nên A chia hết cho 5.
- Một bội của 7 nên A chia hết cho 7.
Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A chia hết cho
( 2.3.5.7 )
Hay A chia hết cho
210

 

[phamhuy20011801]

d, Ta có n(n+1)(n+2)=[TEX]\frac{1}{4}[/TEX].n(n+1)(n+2).4
=[TEX]\frac{1}{4}[/TEX].n(n+1)(n+2)[(n+3)-(n-1)]
=[TEX]\frac{1}{4}[/TEX].n(n+1)(n+2)(n+3)-[TEX]\frac{1}{4}[/TEX].n(n+1)(n+2)(n-1)
[TEX]\Rightarrow D = \frac{1}{4}.1.2.3.4 - \frac{1}{4}.0.1.2.3 + \frac{1}{4}.2.3.4.5 - \frac{1}{4}.1.2.3.4+\frac{1}{4}.n(n+1)(n+2)(n+3)-\frac{1}{4}.n(n+1)(n+2)(n-1)[/TEX]
=[TEX]\frac{1}{4}[/TEX].n(n+1)(n+2)(n+3)
4D+1=n(n+1)(n+2)(n+3) + 1
Áp dụng kiến thức về phương trình tích phân tích được n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = [TEX](n^2+3n+1)^2[/TEX], tức 4D+1 là 1 số chính phương.