Toán 8 [Ôn thi học kì] Phương trình bậc nhất một ẩn

[2712-0-3]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Hello các bạn nhé, chào đến với bài viết đầu tiên của mình. Hôm nay, mình xin phép được mang đến cho các bạn 1 dạng toán rất cơ bản, các bạn cùng lướt lại nhé ^^​

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN​

A. LÝ THUYẾT​

1. Định nghĩa​

- Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng [imath]ax+b=0[/imath] với [imath]a \ne 0[/imath].
- Ví dụ: [imath]2x+6 = 0[/imath] là phương trình bậc nhất ẩn [imath]x[/imath]
Hay [imath]5a=0[/imath] là phương trình bậc nhất ẩn [imath]a[/imath]
Thông thường ẩn phương trình thường là [imath]x[/imath] , tham số là [imath]m[/imath] , hằng số là [imath]a[/imath].

2. Các quy tắc biến đổi​

a) Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình ta có thể chuyển hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó (hay còn gọi tắt là chuyển vế - đổi dấu )
Ví dụ : [imath]x + 3 = 4 \Leftrightarrow x = 4 - 3 \Leftrightarrow x = 1[/imath]
b) Quy tắc nhân với 1 số: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng 1 số khác 0.
Ví dụ: [imath]4x = -3 \Leftrightarrow x . 4.\dfrac{1}{4} = -3.\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x =\dfrac{-3}{4}[/imath]
Khi đó, ta cũng có thể chia 2 vế cùng 1 số khác 0 (thực tế chia là nhân nghịch đảo nha)

3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn​

Các bạn sẽ thấy, từ 2 quy tắc bên trên ta sẽ có thể giải được phương trình bậc nhất 1 ẩn dạng cơ bản như sau:
[math]ax+b = 0 (a\ne0 )[/math][math]\Leftrightarrow ax = -b[/math] (quy tắc chuyển vế)
[math]\Leftrightarrow x = \dfrac{-b}{a}[/math] (quy tắc nhân với 1 số khác 0)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [imath]x = \dfrac{-b}{a}[/imath]
**Lưu ý: đôi khi , phương trình cho không có điều kiện [imath]a \ne 0[/imath], lúc đó bạn cần cẩn thận xét [imath]a=0[/imath] rồi mới làm nha!!

B. CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN​

1. Phương trình đưa được về dạng [imath]ax+b=0[/imath]​

Ví dụ 1 :Với bài toán sau, các bạn chỉ cần thuần thạo 2 quy tắc biến đổi, và kĩ năng nhân chia đa thức, là có thể làm được rồi /^^\
a) [imath]9x + 10 = 11x + 15[/imath]
b) [imath](x-1)(x-2) = (x-3)(x-5) + 2(x-2)[/imath]
c) [imath]10x = 8x + 2(x-3)[/imath]
d) [imath]3(x-1) = 2x + 4(x-2) - (x-5)[/imath]
e) [imath]\dfrac{x-1}{4} + \dfrac{x-2}{6} = \dfrac{x-5}{3}[/imath]
Các bạn hãy thử làm trước khi coi giải nhaa!!

Spoiler: Giải

a) [imath]9x+10 =11 x +15[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 11x - 9x =10 -15[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 2x = -5[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x = \dfrac{-5}{2}[/imath]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là [imath]x =\dfrac{-5}{2}[/imath]

b) [imath](x-1)(x-2) = (x-3)(x-5) + 2(x-2)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2 - 3x+2 = x^2-8x+15 + 2x-4[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (8x - 3x -2x) + (x^2- x^2) = 15 - 4 -2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 3x = 9[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x =3[/imath]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là [imath]x=3[/imath]

c)[imath]10x = 8x + 2(x-3)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 10x = 8x + 2x - 6[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 10x - 8x -2x = -6[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 0x = -6[/imath] (vô nghiệm)
Vậy phương trình vô nghiệm.

d) [imath]3(x-1) = 2x + 4(x-2) - (x-5)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 3x -3 =2x + 4x - 8 - x+5[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 3x - 4x + x = 5 - 8 + 3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 0x = 0[/imath]
Vậy phương trình có nghiệm với mọi [imath]x[/imath]

e) [imath]\dfrac{x-1}{4} + \dfrac{x-2}{6} = \dfrac{x-5}{3}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 3(x-1) + 2(x-2) = 4(x-5)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 3x -3 +2x -4 = 4x-20[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 3x+2x-4x = 3+4-20[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x= -13[/imath]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [imath]x= -13[/imath]

Ví dụ 2: Với những bài ví dụ 2, bạn cần sự tinh ý , nhận biết những điểm đặc biệt của bài để đưa ra cách tách ghép hợp lý.
a) [imath]\dfrac{x+5}{10} + \dfrac{x+6}{11} + \dfrac{x+9}{14} = 3[/imath]

b) [imath]\dfrac{x+1}{3} + \dfrac{x+3}{4} + \dfrac{x+5}{5} + \cdots + \dfrac{x+99}{52}=100[/imath]

Spoiler: Giải

a) Bài này ta thấy ở phần số , thì tử luôn kém mẫu 5 đơn vị, vậy nên ta sẽ tìm cách lấy tử trừ mẫu (hay là mỗi phân thức trừ đi 1) ta sẽ có lời giải...
[imath]\dfrac{x+5}{10} + \dfrac{x+6}{11} + \dfrac{x+9}{14} = 3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{x+5}{10} + \dfrac{x+6}{11} + \dfrac{x+9}{14} = 3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left ( \dfrac{x+5}{10} -1 \right ) + \left ( \dfrac{x+6}{11} - 1 \right )+ \left ( \dfrac{x+9}{14} -1 \right )=0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{x-5}{10} + \dfrac{x-5}{11} + \dfrac{x-5}{14} =0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x-5) \left ( \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{14} \right ) = 0[/imath]
Mà [imath]\left ( \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{14} \right) > 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x=5[/imath]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là [imath]x=5[/imath]

b) Phương trình đề bài tương đương với : (lưu ý trên theo quy luật có 50 phân thức nha, mà 50 bằng 1 nửa 100 đó!!)
[imath]\Leftrightarrow \left ( \dfrac{x+1}{3} - 2 \right ) + \left ( \dfrac{x+3}{4} - 2 \right ) +\cdots + \left ( \dfrac{x+99}{52} - 2 \right ) =0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{x-5}{3} + \dfrac{x-5}{4} + \cdots + \dfrac{x-5}{52}=100[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x-5) \left ( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} +\cdots + \dfrac{1}{52} \right ) = 0[/imath]
Mà [imath]\left ( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} +\cdots + \dfrac{1}{52} \right )[/imath] > 0
[imath]\Leftrightarrow x=5[/imath]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [imath]x=5[/imath].

Gợi ý dưới này nha!
Lưu ý: đôi khi các phương trình sẽ không dễ đoán như kia, mỗi phân thức có thể trừ đi các số khác nhau, thì ta có mẹo làm như sau nhé (ít phân thức ms làm dc)
Ví dụ: trong phương trình có phân thức [imath]\dfrac{x+10}{3} + \dfrac{2x+4}{2}[/imath] mà khi ấn máy tính Shift + SOLVE , ra nghiệm [imath]x = 1[/imath] thì ta sẽ tách để đưa các tử phân thức có dạng 1 số nhân với [imath](x-1)[/imath]
[imath]\dfrac{x+10}{3} - 3 = \dfrac{x-1}{3} ; \dfrac{2x+4}{2} - 1 =\dfrac{2(x-1)}{2}[/imath]

2. Phương trình dạng tích:​

Với dạng này, ta sẽ biến đổi phương trình về tích các đa thức (thường là bậc nhất) để giải :​

[imath]A(x). B(x) . C(x) \cdots =0 \Leftrightarrow A(x) =0[/imath] hoặc [imath]B(x) = 0[/imath] hoặc [imath]C(x) =0[/imath]​

Khi này, các bạn cần linh hoạt sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, cùng với sử dụng định lý Bezout để tách ghép nhẩm nghiệm trở nên dễ dàng hơn.​

Bạn nào học nhiều có thể dùng Sơ đồ Hooc nơ để phục vụ việc tách ghép đa thức.​

Vì phần này liên quan nhiều đến phân tích đa thức thành nhân tử nên mình sẽ không liệt kê lại lý thuyết !!

Ví dụ:
a) [imath](x-3)(x-2) = 0[/imath]
b) [imath](x-5)(2x-1) = (x-5)(3x+5)[/imath]
c) [imath](x+5)(x+1) = -4[/imath]
d) [imath]x^3 +2x^2 + 10x + 9 = 0[/imath]

Spoiler: Giải

a) [imath](x-3)(x-2) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x- 3 =0[/imath] hoặc [imath]x-2= 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x=3[/imath] hoặc [imath]x=2[/imath]
Vậy phương trình có tập nghiệm [imath]S = \{ 2;3\}[/imath]

b) [imath](x-5)(2x-1) = (x-5)(3x+5)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x-5)(3x+5) - (x-5)(2x-1) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x-5)(3x + 5 - 2x + 1) =0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x-5)(x+6) =0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x=5[/imath] hoặc [imath]x=-6[/imath]
Vậy phương trình có tập nghiệm [imath]S = \{ 5; -6 \}[/imath]

c) [imath](x+5)(x+1) = -4[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2 + 6x + 5 + 4 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2+6x+ 9 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x+3)^2 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x+3 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x= -3[/imath]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [imath]x=-3[/imath]

d) [imath]x^3 +2x^2 + 10x + 9 = 0[/imath]
Ta thấy ở vế trái, tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ [imath]1+10 =2 +9[/imath] suy ra phương trình có nghiệm [imath]x=-1[/imath] hay có nhân tử [imath](x+1)[/imath] (Định lý Bezout)
Ta thức hiện chia đa thức hoặc kĩ thuật tách 2 dòng (cái này thầy mình dạy, mình không rõ có không)
[imath]\Leftrightarrow (x^3 + x^2) + (x^2 + x) + (9x+9) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x+1)(x^2 + x+9) =0[/imath]
Mà [imath]x^2 + x+ 9 = \left ( x+ \dfrac{1}{2} \right ) ^2 + \dfrac{33}{4} > 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x=-1[/imath]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [imath]x=-1[/imath]

3. Phương trình chứa ẩn ở mẫu​

Ở dạng này, ta cần chú ý điều kiện xác định ở mẫu, và phải thử lại (so sánh với điều kiện xác định) trước khi kết luận nghiệm !! Chú ý tách ghép mẫu hợp lý để quy đồng nhé.​

Ví dụ:
a) [imath]\dfrac{1}{x-3} = \dfrac{4}{2x+5}[/imath]
b) [imath]\dfrac{x-1}{x+5} = \dfrac{x+6}{x+3}[/imath]
c) [imath]\dfrac{x+2}{x-2} + \dfrac{x-2}{x+2} =\dfrac{8}{x^2-4}[/imath]
d) [imath]\dfrac{x}{x-3} + \dfrac{x}{x-6} = \dfrac{x}{x-4} + \dfrac{x}{x-5}[/imath]

Spoiler: Giải

a) [imath]\dfrac{1}{x-3} = \dfrac{4}{2x+5}[/imath]
ĐKXĐ : [imath]x\ne 3 ;x\ne \dfrac{-5}{2}[/imath]
Từ phương trình suy ra:
[imath]4(x-3) = 2x+5[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 4x -12 = 2x+ 5[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 2x = 17[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x=\dfrac{17}{2}[/imath] (thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [imath]x=\dfrac{17}{2}[/imath]

b) [imath]\dfrac{x-1}{x+5} = \dfrac{x+6}{x+3}[/imath]
ĐKXĐ: [imath]x\ne -3 ; x\ne -5[/imath]
Từ phương trình suy ra:
[imath](x-1)(x+3) = (x+5)(x+6)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 =x^2 + 11x + 30[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 9x = -33[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x =\dfrac{-11}{3}[/imath] (thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [imath]x =\dfrac{-11}{3}[/imath]

c) [imath]\dfrac{x+2}{x-2} - \dfrac{x-2}{x+2} =\dfrac{8}{x^2-4}[/imath]
ĐKXĐ [imath]x\ne 2 ;x\ne -2[/imath]
Ta thấy [imath]x^2- 4 = (x-2)(x+2)[/imath]
Phương trình suy ra:
[imath](x+2)^2 - (x-2)^2 = 8[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 8x = 8[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x=1[/imath] (thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [imath]x=1[/imath]

d) [imath]\dfrac{x}{x-3} + \dfrac{x}{x-6} = \dfrac{x}{x-4} + \dfrac{x}{x-5}[/imath]
ĐKXĐ : [imath]x\ne 3 ; x \ne 4 ; x\ne 5 ; x\ne 6[/imath]
Dễ thấy [imath]x=0[/imath] là nghiệm phương trình
Xét [imath]x\ne 0[/imath]
Chia cả 2 vế phương trình cho [imath]x[/imath] , rồi quy đồng 2 vế ta được
[imath]\dfrac{2x-9}{(x-3)(x-6)} = \dfrac{2x-9}{(x-4)(x-5)}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (2x-9) \left ( \dfrac{1}{x^2 - 9x +18} - \dfrac{1}{x^2-9x+20} \right) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (2x-9) \dfrac{2}{(x^2-9x+18)(x^2-9x+20)}=0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{2}[/imath] (thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy phương trình có tập nghiệm [imath]S= \{ \dfrac{9}{2} ; 0 \}[/imath]

​

Xin phép được kết thúc bài viết này tại đây, cảm ơn các bạn đã đọc nhé.​

Các bạn có những thắc mắc gì có thể ib cho mình để giải đáp , mình rất hân hạnh được trả lời.

---- Maybe continued ----

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​