Toán 8 [Ôn thi HKI] Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử

[kido2006]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

I.LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

• Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
• Ta có bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
  1. ${{\left( A+B \right)}^{2}}={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}$
  2. ${{\left( A-B \right)}^{2}}={{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}$
  3. ${{A}^{2}}-{{B}^{2}}-\left( A+B \right)\left( A-B \right)$
  4. ${{\left( A+B \right)}^{3}}={{A}^{3}}+3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}+{{B}^{3}}$
  5. ${{\left( A-B \right)}^{3}}={{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}$
  6. ${{A}^{3}}+{{B}^{3}}=\left( A+B \right)\left( {{A}^{2}}-AB+{{B}^{2}} \right)$
  7. ${{A}^{3}}-{{B}^{3}}=\left( A-B \right)\left( {{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right)$

II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

• Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Cách làm :

1. Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử.
   
2. Áp dụng bảy hằng đẳng thức trên
   
3. Kết hợp các cách làm với nhau

Ví dụ:

1. $x^2+4x+4$
2. $x+y+xy+1$

Hướng dẫn

1. $x^2+4x+4=x^2+2.x.2+2^2=(x+2)^2$
2. $x+y+xy+1=x+1+xy+y=x+1+y(x+1)=(x+1)(y+1)$

• Dạng 2:Tính giá trị biểu thức

Cách làm:

1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
2. Thay giá trị ẩn số đề cho vào biểu thức ta được kết quả cần tìm

Ví dụ

1. Tính giá trị biểu thức $P=xy+x+y+2$ biết $x=-1$
2. Tính giá trị biểu thức $81.51+81.49+19.100$

Hướng dẫn

1. $P=(x+1)(y+1)+1=(-1+1)(y+1)+1=1$
2. $81.51+81.49+19.100\\=81(51+49)+19.100\\=81.100+19.100\\=100(81+19)\\=100.100=10000$

• Dạng 3:Giải phương trình

Cách làm:

1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
2. Giải phương trình

Ví dụ

1. Giải phương trình $x^2-2x+1=0$
2. Giải phương trình $x^3+2x+3=0$

Hướng dẫn

1. $$x^2-2x+1=0\\ \Leftrightarrow (x-1)^2=0\\ \Leftrightarrow x=1$$
2. $$x^3+2x+3=0\\ \Leftrightarrow (x^3+1)+2x+2=0\\ \Leftrightarrow (x+1)(x^2-x+1)+2(x+1)=0\\ \Leftrightarrow (x+1)(x^2-x+3)=0\\ \Rightarrow x=-1 (\textrm{do } x^2-x+3=(x-\dfrac{1}{2})^2+\frac{11}{4} > 0)$$

• Dạng 4: Chứng minh tính chia hết

Cách làm:

1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
2. Xét tính chia hết

Ví dụ

1. Chứng minh rằng với số nguyên n thì $n^2-2x-3$ chia hết cho $n+1$
2. Chứng minh rằng với số nguyên n thì $n^3-n$ chia hết cho $6$

Hướng dẫn

1. $$n^2-2x-3=(n+1)(n-3)\vdots (n+1)$$
   
2. $$n^3-n=(n-1)n(n+1)$$
   Do $n$ là số nguyên nên $n-1,n,n+1$ là 3 số nguyên liên tiếp nên $(n-1)n(n+1)$ chia hết cho 2 và 3
   Mà $(2,3)=1$ $$\Rightarrow n^3-n=(n-1)n(n+1)\vdots 2.3=6$$

III.BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 : Cho $P=x^2+3x-4$
a,Tính $P$ khi $x=2$
b,Tìm $x$ khi $P=0$
c,Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$

Bài 2 : Cho $A=a^3+b^3+c^3$ . Chứng minh rằng $A$ chia hết cho 3 khi và chỉ khi $a+b+c$ chia hết cho 3

Bài 3 : Giải phương trình $x^2-2x-5=0$


Tổng hợp topic ôn thi học kì

 

[Only Normal]

$\begin{array}{l} \text{1,} \\ a, \\ \text{Thay } x =2 \text{ vào } P = x^2+3x-4 \\
\Rightarrow P = 2^2+2 . 3 -4 = 4 + 6 -4 = 6 \\
\text{Vậy } P = 6 \Leftrightarrow x =2 \\
b, \\
\text{Ta có : } P =0 \Leftrightarrow x^2+3x -4 =0 \\
\Leftrightarrow x^2 - x +4x -4 =0 \\
\Leftrightarrow x(x -1) +4(x-1) =0 \\
\Leftrightarrow (x+4)(x-1) =0 \\
\text{Giải ra ta được } x \in \{-4 ; 1 \} \\
c, \\
\text{Ta có : }
P = x^2+3x-4 = x^2 + 2 . x . \dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{4} - \dfrac{25}{4} = \Bigg(x+ \dfrac{3}{2} \Bigg)^2 - \dfrac{25}{4} \ge \dfrac{-25}{4} \\
\text{Vậy } P_{min} = \dfrac{-25}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{-3}{2} \\
2, \\
\text{ Xét } A -3abc = a^3 +b^3 +c^3 -3abc \\ = (a+b)^3 - 3ab(a+b)+c^3 -3abc \\ = [ (a+b)^3 +c^3] - 3ab(a+b+c) \\ =(a+b+c)(a^2 +b^2+2ab - (a+b)c + c^2) - 3ab(a+b+c) \\ =(a+b+c)(a^2+2ab -ac +b^2-bc+c^2) - 3ab(a+b+c) \\ = (a+b+c)(a^2+2ab -ac +b^2-bc+c^2 - 3ab) \\ =(a+b+c)(a^2-ab-ac+b^2-bc+c^2) \\
\Leftrightarrow A - 3abc \ \vdots \ 3 \ \Leftrightarrow a +b+c \ \vdots \ 3 \\ \text{Mà } 3abc \ \vdots \ 3 \Rightarrow A =(a+b+c)(a^2+2ab -ac +b^2-bc+c^2 - 3ab) + 3abc \ \vdots \ 3 \Leftrightarrow a +b+c \ \vdots \ 3 \\
3, \\
x^2 -2x-5 =0 \\
\Leftrightarrow x^2 - 2x +1 =6 \\
\Leftrightarrow (x-1)^2 =6 \\
\Leftrightarrow x -1 = \sqrt{6} \text{ hoặc } x -1 = -\sqrt{6} \\
\Leftrightarrow x = \sqrt{6}+1 \text{ hoặc } x = 1 - \sqrt{6} \\
\text{Vậy } x \in \{\sqrt{6}+1 ; 1 -\sqrt{6} \} \end{array}$