Toán 8 [Ôn thi HKI] Chuyên đề: Phân thức đại số

[kido2006]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1.Định nghĩa

• Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\dfrac{A}{B}$ , trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.
• A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
• Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.
• Số 0, số 1 cũng là những phân thức đại số
• Hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $A.D=B.C$ . Ta viết: $\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}$ nếu $A.D=B.C$

2.Các tính chất cơ bản

• Phân thức đại số có tính chất cơ bản sau:
• Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:$\dfrac{A}{B}=\dfrac{A.M}{B.M}$ ( M là một đa thức khác đa thức 0)
• Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:$\dfrac{A}{B}=\dfrac{A:N}{B:N}$ ( N là một nhân tử chung)
• Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:$\dfrac{A}{B}=\dfrac{-A}{-B}$

3.Công phân thức

• Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
• Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
• Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức ấy. Ta thường viết tổng này dưới dạng rút gọn.
• Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất sau:
  
  1. Giao hoán: $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{C}{D}+\frac{A}{B}$
  2. Kết hợp: $\left( \frac{A}{B}+\frac{C}{D} \right)+\frac{E}{F}=\frac{A}{B}+\left( \frac{C}{D}+\frac{E}{F} \right)$

4.Trừ phân thức

• Muốn trừ phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$ , ta cộng $\dfrac{A}{B}$ với phân thức đối của $\dfrac{C}{D}$: $\dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+\left( -\dfrac{C}{D} \right)$
• Kết quả của phép trừ $\dfrac{A}{B}$ cho $\dfrac{C}{D}$ được gọi là hiệu của $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$

5.Nhân phân thức

• Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau:$\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}=\dfrac{A.C}{B.D}$
• Kết quả của phép nhân hai phân thức được gọi là tích. Ta thường viết tích này dưới dạng rút gọn.

6.Chia phân thức

• 
  
  
  • Muốn chia phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$ khác 0, ta nhân $\dfrac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\dfrac{C}{D}$: $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C}\left( \dfrac{C}{D}\ne 0 \right)$

II.CÁC DẠNG BÀI TẬP

• 
  
  
  • Dạng 1: Rút gọn phân thức

Muốn rút gọn một phân thức ta có thể:

1. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ( nếu cần ) để tìm nhân tử chung.
2. Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Ví dụ

1. Rút gọn [tex]\dfrac{xy}{xy+y}[/tex] với [tex]xy+y\neq 0[/tex]
2. Rút gọn [tex]\dfrac{x^2-y^2}{x+y}[/tex] với $x+y \ne 0$

Hướng dẫn

1. [tex]\dfrac{xy}{xy+y}=\dfrac{xy}{y(x+1)}=\dfrac{x}{x+1}[/tex]
   
2. [tex]\dfrac{x^2-y^2}{x+y}=\dfrac{(x-y)(x+y)}{x+y}=x-y[/tex]

• Dạng 2:Rút gọn biểu thức có 2 phân thức trở lên

Cách làm tương tự dạng 1 nhưng kết hợp lí thuyết

Ví dụ

1. Rút gọn [tex](\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}).\dfrac{xy}{x+y}[/tex] với $x,y,x+y \ne 0$
2. Rút gọn [tex](\dfrac{x}{y}+1) : \dfrac{x+y}{xy}[/tex] với $x,y,x+y \ne 0$

Hướng dẫn

1. $(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}).\dfrac{xy}{x+y}=(x^2-y^2).\dfrac{1}{x+y}=x-y$
2. $(\dfrac{x}{y}+1) : \dfrac{x+y}{xy}=(x+y).\dfrac{x}{x+y}=x$

III.Bài tập tự luyện

Bài 1 : Chứng minh rằng $\dfrac{-x+y}{x-y}=-1$
Bài 2 : Rút gọn $(\dfrac{x+y}{y}+\dfrac{x+y}{x}).\dfrac{xy^2}{y}$
Bài 3 : Tìm giá trị nguyên của n sao cho $\dfrac{5}{3n+1}$ là số nguyên


Tổng hợp topic ôn thi học kì

 

[Only Normal]

$\begin{array}{l} 1, \\ \dfrac{-x+y}{x-y} = \dfrac{-(x-y)}{x-y} = -1 \ ( \text{ đpcm } ) \\
2, \\ \Bigg ( \dfrac{x+y}{y} + \dfrac{x+y}{x} \Bigg ) . \dfrac{xy^2}{y} \\ = \Bigg(\dfrac{ x^2+xy}{xy} + \dfrac{xy + y^2}{xy} \Bigg ) .xy \\ = \dfrac{x^2+2xy+y^2}{xy} . xy = (x+y)^2 \\
3, \\ \text{Để } \dfrac{5}{3n+1} \in \mathbb{Z} \\
\Leftrightarrow 5 \ \vdots \ 3n + 1 \\
\Leftrightarrow 3n +1 \in Ư(5) =\{ \pm 1 ; \pm 5 \} \\
\Leftrightarrow 3n \in {0 ; -2 ; 4 ; -6} \\
\Leftrightarrow n \in \Bigg \{0 ; \dfrac{-2}{3} ; \dfrac{4}{3} ; -2 \Bigg\} \\
\text{Mà } n \in \mathbb{Z} \Rightarrow n \in \{ 0 ; -2 \} \\
\text{Vậy } n \in \{0 ; -2 \} \Leftrightarrow\dfrac{5}{3n+1} \in \mathbb{Z} \end{array}$