Toán 9 [Ôn thi HKI] Chuyên đề: Căn bậc 2

[7 1 2 5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

I. Lý thuyết

• Căn bậc hai của một số không âm $a$ là số thực $x$ sao cho $x^2=a$.

Ví dụ: Căn bậc 2 của $4$ là $2$ và $-2$ vì $2^2=(-2)^2=4$.

• Căn bậc hai số học của số không âm $a$, kí hiệu $a=\sqrt{a}$, là số thực không âm sao cho $x^2=a$.

Ví dụ: $\sqrt{4}=2$

• Một số quy tắc biến đổi trong căn thức:

• $\sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$ với $a,b \geq 0$
• $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$ với $a,b \geq 0$
• $\sqrt{a^2}=|a|$
• $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với $a \geq 0, b > 0$

II. Một số dạng toán liên quan

• Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa

Để làm dạng bài tập này, chúng ta cần lưu ý về 2 công thức sau:

• $\sqrt{A}$ có nghĩa khi $A \geq 0$
• $\sqrt{\dfrac{1}{B}}$ có nghĩa khi $A > 0$

Ví dụ: Tìm điều kiện để biểu thức sau có nghĩa:

1. $\sqrt{3x+5}$
2. $\sqrt{\dfrac{(2x+1)^2}{1-2x}}$

Hướng dẫn:

1. Để biểu thức có nghĩa thì $3x+5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac{-5}{3}$
2. Để biểu thức có nghĩa thì $\dfrac{(2x+1)^2}{1-2x} \geq 0 \Leftrightarrow 1-2x > 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{1}{2}$

• Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Lưu ý: $\sqrt{a^2}=a$ nếu $a \geq 0$, $\sqrt{a^2}=-a$ nếu $a < 0$
Một mẹo nhỏ để xử lí dạng bài này: Để tính giá trị của $\sqrt{a+b\sqrt{c}}$, ta sẽ đi phân tích $a+b\sqrt{c}=(m+n\sqrt{c})^2$
Khi đó, dùng hằng đẳng thức cho vế trái ta có: $(m+n\sqrt{c})^2=m^2+cn^2+2mn\sqrt{c}$
Từ đó ta sẽ đi tìm $m,n$ sao cho $m^2+cn^2=a,2mn=b$. Dùng phương pháp thế hoặc nhẩm để tìm $m,n$.
(Nhiều lúc, $\sqrt{c}$ có thể linh hoạt tách thêm)
Ví dụ: Tính giá trị biểu thức: $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$
Hướng dẫn: Ta thấy $3+2\sqrt{2}=2+2.1.\sqrt{2}+1=(\sqrt{2}+1)^2$ nên $\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$

• Dạng 3: Rút gọn biểu thức

Đối với dạng này ta cần linh hoạt sử dụng hằng đẳng thức cũng như quy tắc biến đổi trong căn thức.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau: $\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{2+5\sqrt{x}}{4-x}$ với $x \geq 0, x \neq 4$
Hướng dẫn: $\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{2+5\sqrt{x}}{4-x}=\dfrac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)+2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)-2-5\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{x+3\sqrt{x}+2+2x-4\sqrt{x}-2-5\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{3x-6\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{3\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$

• Dạng 4: Giải phương trình chứa căn thức

Các bạn có thể tham khảo chi tiết tại đây nhé: https://diendan.hocmai.vn/threads/ly-thuyet-chuyen-de-hsg-phuong-trinh-vo-ty.834086/
III. Bài tập ôn tập
1. Cho biểu thức $A=(\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-2\sqrt{x}+1}) \cdot \dfrac{(1-x)^2}{2}$
a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định
b) Rút gọn biểu thức
c) Tính $A$ khi $x=13+4\sqrt{3}$
d) Tìm $x$ để $A$ đạt giá trị lớn nhất

2. Cho biểu thức $A=\dfrac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}+\dfrac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\dfrac{2\sqrt{x}+3}{3+\sqrt{x}}$
a) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức
c) Tính $A$ khi $x=4+2\sqrt{3}$
d) Tìm $x$ để $A=\dfrac{1}{2}$

3. Cho biểu thức $A=(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}) : (\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}-\dfrac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1})$
a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định
b) Rút gọn biểu thức
c) Tính $A$ khi $a=3+\sqrt{8}$
d) Tìm $a$ để $A=\dfrac{1}{6}$



Tổng hợp topic ôn thi học kì