[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Chương 3 của đại số lớp 10 nói về các loại phương trình và cách giải, chương này khá quan trọng. Vì vậy để củng cố thêm kiến thức chuẩn bị cho kì thi HK sắp tới anh đã soạn ra bài viết này, rất mong có thể giúp các em ôn tập tốt hơn, cùng nhau học nhé 
1. Phương trình một ẩn: Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng $f(x) = g(x)$.(1)
trong đó $f(x)$ và $g(x)$ là những biểu thức của $x$.
Nếu có số thực $x_o$ sao cho $f(x_o) = g(x_o)$ là mệnh đề đúng thì xo được gọi là một nghiệm của phương trình (1).
Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).
2. Điều kiện của một phương trình: Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số $x$ để $f(x)$ và $g(x)$ có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).
3. Phương trình nhiều ẩn
Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn
$3x + 2y = x^2 – 2xy + 8$, (2)
$4x^2 – xy + 2z = 3z^2 + 2xz + y^2$ ( 3)
Phương trình (2) là phương trình hai ẩn $(x , y)$, còn (3) là phương trình ba ẩn $(x, y, z)$.
Khi $x = 2, y = 1$ thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp $(x; y) = (2; 1)$ là một nghiệm của phương trình (2).
Tương tự, bộ ba số $(x; y; z) = (–1; 1; 2)$ là một nghiệm của phương trình (3).
4. Phương trình chứa tham số: Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
5. Phương trình tương đương: Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
Phép biến đổi tương đương
Định lí: Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
Nếu mọi nghiệm của phương trình $f(x) = g(x)$ đều là nghiệm của phương trình$ f_1(x) = g_1(x)$ thì phương trình $f_1(x) = g_1(x)$ được gọi là phương trình hệ quả của phương trình $f(x) = g(x)$
Ta viết $f(x) = g(x) \Rightarrow f_1(x) = g_1(x)$.
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
B. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối, bằng cách:
Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường
Dạng 3: Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách
Dạng 4: Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
Loại 1. Phương trình trùng phương: $ax^4 + bx^2 + c = 0, (a \neq 0) $ (*)
C. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn x , y có dạng tổng quát là $ax + by = c$ (1)
trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.
CHÚ Ý
a) Khi $a = b = 0$ ta có phương trình $0x + 0y = c$. Nếu $c \neq 0$ thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu $c = 0$ thì mọi cặp số $(x; y)$ đều là nghiệm.
b) Khi $b \neq 0$, phương trình $ax + by = c$ trở thành
$y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$ (2)
Cặp số $(x_o; y_o)$ là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm $M(x_o; y_o)$ thuộc đường thẳng (2).
Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là: $\left\{ \begin{array}{l}{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y={{c}_{1}} \\ {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y={{c}_{2}} \\ \end{array} \right. $(3)
Trong đó $x, y$ là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.
Nếu cặp số $(x_0; y_0)$ đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì $(x_0; y_0)$ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3).
Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó.
Giờ mình cùng luyện 1 số bài tập thôi nào
Bạn nào giải được nhớ bình luận để anh biết nha, chúc các em học tốt
Tổng hợp topic ôn thi học kì
LÝ THUYẾT
A. CÁC KHÁI NIỆM1. Phương trình một ẩn: Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng $f(x) = g(x)$.(1)
trong đó $f(x)$ và $g(x)$ là những biểu thức của $x$.
Nếu có số thực $x_o$ sao cho $f(x_o) = g(x_o)$ là mệnh đề đúng thì xo được gọi là một nghiệm của phương trình (1).
Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).
2. Điều kiện của một phương trình: Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số $x$ để $f(x)$ và $g(x)$ có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).
VD: Tìm tập xác định của các phương trình sau:
a. $x+\dfrac{1}{x}=2$
b. $\sqrt{x-1}=3$
Giải:
a. ĐK: $x\neq 0$. Vậy $D=\mathbb{R} \setminus {0}$
b. ĐK: $x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$. Vậy $D=[1;+\infty)$
a. $x+\dfrac{1}{x}=2$
b. $\sqrt{x-1}=3$
Giải:
a. ĐK: $x\neq 0$. Vậy $D=\mathbb{R} \setminus {0}$
b. ĐK: $x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$. Vậy $D=[1;+\infty)$
3. Phương trình nhiều ẩn
Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn
$3x + 2y = x^2 – 2xy + 8$, (2)
$4x^2 – xy + 2z = 3z^2 + 2xz + y^2$ ( 3)
Phương trình (2) là phương trình hai ẩn $(x , y)$, còn (3) là phương trình ba ẩn $(x, y, z)$.
Khi $x = 2, y = 1$ thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp $(x; y) = (2; 1)$ là một nghiệm của phương trình (2).
Tương tự, bộ ba số $(x; y; z) = (–1; 1; 2)$ là một nghiệm của phương trình (3).
4. Phương trình chứa tham số: Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
5. Phương trình tương đương: Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
Phép biến đổi tương đương
Định lí: Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0
6. Phương trình hệ quảb) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0
Nếu mọi nghiệm của phương trình $f(x) = g(x)$ đều là nghiệm của phương trình$ f_1(x) = g_1(x)$ thì phương trình $f_1(x) = g_1(x)$ được gọi là phương trình hệ quả của phương trình $f(x) = g(x)$
Ta viết $f(x) = g(x) \Rightarrow f_1(x) = g_1(x)$.
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
B. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
VD: Giải phương trình: $|x+1|=x-2$
Giải:
$D=\mathbb{R}$
PT $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-2\geq 0\\ (x+1)^2=(x-2)^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq2 \\ x=\dfrac{3}{4} \end{matrix}\right. $
Vậy $S=\varnothing $
Giải:
$D=\mathbb{R}$
PT $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-2\geq 0\\ (x+1)^2=(x-2)^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq2 \\ x=\dfrac{3}{4} \end{matrix}\right. $
Vậy $S=\varnothing $
Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường
- Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không)
- Đặt ẩn phụ
- Đặt ẩn phụ
VD: Giải phương trình: $\dfrac{3}{x+2}=1$
Giải:
$D=\mathbb{R} \setminus {-2}$
PT $\Leftrightarrow x+2=3 \Leftrightarrow x=1$. (nhận)
Vậy $S=\left \{ 1 \right \}$
Giải:
$D=\mathbb{R} \setminus {-2}$
PT $\Leftrightarrow x+2=3 \Leftrightarrow x=1$. (nhận)
Vậy $S=\left \{ 1 \right \}$
Dạng 3: Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Phân tích thành tích.
– Đặt ẩn phụ.
– Phân tích thành tích.
– Đặt ẩn phụ.
VD: Giải phương trình $\sqrt{x+4}=1$
Giải
$D=[-4;+\infty)$
PT $\Leftrightarrow (\sqrt{x+4})^2=1^2 \Leftrightarrow x+4=1 \Leftrightarrow x=-3$ (nhận)
Vậy $S=\left \{-3\right \}$
Giải
$D=[-4;+\infty)$
PT $\Leftrightarrow (\sqrt{x+4})^2=1^2 \Leftrightarrow x+4=1 \Leftrightarrow x=-3$ (nhận)
Vậy $S=\left \{-3\right \}$
Dạng 4: Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
Loại 1. Phương trình trùng phương: $ax^4 + bx^2 + c = 0, (a \neq 0) $ (*)
Phương pháp giải: Đặt $t= x^2 \geq 0$ thì (*) $\Leftrightarrow at^2 + bt + c = 0.$
Loại 2.$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ với $\dfrac{e}{a}=(\dfrac{d}{b})^2 \neq 0$
Phương pháp giải: Chia hai vế cho $x^2 \neq 0$, rồi đặt $t = x + \dfrac{\alpha}{x} \Rightarrow t^2 = (x + + \dfrac{\alpha}{x})^2 với $\alpha=\dfrac{d}{b}$
Loại 3.$ (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e$ với $a + c = b + d$
Phương pháp giải: $[(x+a)(x+c)]⋅[(x+b)(x+d)] = e$ $\Leftrightarrow [x^2 + (a+c)x + ac]⋅[x^2 + (b+d)x + bd] = e$ và đặt $t = x^2 + (a+c)x$
Loại 4. $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ex^2$ với $a.b = c.d$
Phương pháp giải: Đặt $t = x^2 + ab + \dfrac{a+b+c+d}{2}x$ thì phương trình
$\Leftrightarrow (t + \dfrac{a+b+c+d}{2}x)(t - \dfrac{a+b+c+d}{2}x) = ex^2$ (có dạng đẳng cấp)
Loại 5. $(x+a)^4 + (x+b)^4 = c$$\Leftrightarrow (t + \dfrac{a+b+c+d}{2}x)(t - \dfrac{a+b+c+d}{2}x) = ex^2$ (có dạng đẳng cấp)
Phương pháp giải: Đặt $x = t- \dfrac{a+b}{2}\Rightarrow (t + \alpha)^4 + (t - \alpha)^4 = c$ với $\alpha = \dfrac{a+b}{2}$
VD: Giải phương trình:
a. $3x^4+2x^2-1=0$
b. $(x+1)^4+(x+3)^4=2$
Giải:
a. $D=\mathbb{R}$
Đặt $t=x^2 \geq 0$, ta có: $3t^2+2t-1=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=\dfrac{1}{3}>0\\ t=-1<0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=\pm \sqrt{\dfrac{1}{3}}.$
Vậy $S=\left \{ \sqrt{\dfrac{1}{3}}; -\sqrt{\dfrac{1}{3}} \right \}$
b. $D=\mathbb{R}$
Đặt $t=x+2$, ta có : $(t-1)^4 +(t+1)^4 =2 \Leftrightarrow (t^4-4t^3+6t^2-4t+1)+ (t^4+4t^3+6t^2+4t+1)=2 \Leftrightarrow 2t^4+12t^2=0 \Leftrightarrow 2t^2(t^2+12)=0 \Leftrightarrow t=0$.
Vậy $S=\left \{ 0\right \} $.
a. $3x^4+2x^2-1=0$
b. $(x+1)^4+(x+3)^4=2$
Giải:
a. $D=\mathbb{R}$
Đặt $t=x^2 \geq 0$, ta có: $3t^2+2t-1=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=\dfrac{1}{3}>0\\ t=-1<0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=\pm \sqrt{\dfrac{1}{3}}.$
Vậy $S=\left \{ \sqrt{\dfrac{1}{3}}; -\sqrt{\dfrac{1}{3}} \right \}$
b. $D=\mathbb{R}$
Đặt $t=x+2$, ta có : $(t-1)^4 +(t+1)^4 =2 \Leftrightarrow (t^4-4t^3+6t^2-4t+1)+ (t^4+4t^3+6t^2+4t+1)=2 \Leftrightarrow 2t^4+12t^2=0 \Leftrightarrow 2t^2(t^2+12)=0 \Leftrightarrow t=0$.
Vậy $S=\left \{ 0\right \} $.
C. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn x , y có dạng tổng quát là $ax + by = c$ (1)
trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.
CHÚ Ý
a) Khi $a = b = 0$ ta có phương trình $0x + 0y = c$. Nếu $c \neq 0$ thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu $c = 0$ thì mọi cặp số $(x; y)$ đều là nghiệm.
b) Khi $b \neq 0$, phương trình $ax + by = c$ trở thành
$y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$ (2)
Cặp số $(x_o; y_o)$ là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm $M(x_o; y_o)$ thuộc đường thẳng (2).
Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là: $\left\{ \begin{array}{l}{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y={{c}_{1}} \\ {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y={{c}_{2}} \\ \end{array} \right. $(3)
Trong đó $x, y$ là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.
Nếu cặp số $(x_0; y_0)$ đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì $(x_0; y_0)$ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3).
Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó.
VD: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x+y=2\\ x+2y=3\end{matrix}\right.$
Giải:
$D=\mathbb{R}$
$\left\{\begin{matrix}x+y=2\\ x+2y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+y=2\\ y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.$
Vậy $S=\left \{ 1;1 \right \}$.
Giải:
$D=\mathbb{R}$
$\left\{\begin{matrix}x+y=2\\ x+2y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+y=2\\ y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.$
Vậy $S=\left \{ 1;1 \right \}$.
Giờ mình cùng luyện 1 số bài tập thôi nào
BÀI TẬP
1. Tìm tập xác định của các phương trình sau:
a. $\sqrt{x-1} +\sqrt{x-3}=2$
b. $\sqrt{-3x+2}=\dfrac{2}{x+1}$
c. $\dfrac{x+4}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{1-x}$
2. Tìm tập xác định của các phương trình sau rồi suy ra tập nghiệmb. $\sqrt{-3x+2}=\dfrac{2}{x+1}$
c. $\dfrac{x+4}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{1-x}$
a. $\sqrt{x}=\sqrt{-x}$
b. $3x-\sqrt{x-2}=\sqrt{2-x}+6$
3. Giải các phương trình sau:b. $3x-\sqrt{x-2}=\sqrt{2-x}+6$
a. $x+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2x-1}{x-1}$
b. $(x^2-x-2)\sqrt{x+1}=0$
c. $2|x-1|=\sqrt{x-2}$
4. Giải và biện luận phương trình:b. $(x^2-x-2)\sqrt{x+1}=0$
c. $2|x-1|=\sqrt{x-2}$
a. $m(x-m)=x+m-2$
b. $(m^2+2)x-2m=x-3$
5. Giải các hệ phương trình sau:b. $(m^2+2)x-2m=x-3$
a. $\left\{\begin{matrix}5x-4y=3\\ 7x-9y=8\end{matrix}\right.$
b. $\left\{\begin{matrix} \dfrac{4}{x} +\dfrac{1}{y-1}=3\\ \dfrac{2}{x} -\dfrac{2}{y-1}=4 \end{matrix}\right.$
b. $\left\{\begin{matrix} \dfrac{4}{x} +\dfrac{1}{y-1}=3\\ \dfrac{2}{x} -\dfrac{2}{y-1}=4 \end{matrix}\right.$
Bạn nào giải được nhớ bình luận để anh biết nha, chúc các em học tốt
Tổng hợp topic ôn thi học kì
Last edited by a moderator:
