[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
A LÝ THUYẾTI Khái niệm mở đầu
1. Mặt phẳngMặt bảng, mặt bàn,… cho ta hình ảnh về một phần mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.
Để biểu diễn mặt phẳng, người ta thường dùng hình bình hành hoặc một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn.
Để kí hiệu mặt phẳng, người ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu $\{\}$ .
Ví dụ: mặt phẳng $(P);(Q);(\alpha);(\beta);...$
2. Điểm thuộc mặt phẳng
Cho điểm $A$ và mặt phẳng $(\alpha)$
Khi điểm $A$ thuộc mặt $(\alpha)$ ta nói $A$ nằm trên $(\alpha)$ hay $(\alpha)$ chứa $A$, $(\alpha)$ đi qua điểm $A$ và ký hiệu $A\in(\alpha)$.
Khi điểm $A$ không thuộc mặt $(\alpha)$ ta nói $A$ nằm ngoài $(\alpha)$ hay $(\alpha)$ không chứa $A$, ký hiệu $A\notin(\alpha)$.
3. Hình biểu diễn của một hình không gian
Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian người ta dựa vào quy tắc sau:
Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
Dùng nét liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất.
II Các tính chất thừa nhận
Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Khi đó đường thẳng đi qua tập hợp các điểm chung ấy gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.
Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
III Cách xác định một mặt phẳng
Có ba cách xác định một mặt phẳng:Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định nếu biết nó đi qua ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng. Ký hiệu: $(ABC)$
Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một điểm $A$ và chứa một đường thẳng $d$ không đi qua điểm đó. Ký hiệu: $(A,d)$
Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa hai đường thẳng $a,b$ cắt nhau. Kí hiệu $(a,b)$.
IV Hình chóp và tứ diện
Định nghĩa: Cho đa $A_1A_2\ldots A_n$ và cho điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối $S$ với các đỉnh $A_1,A_2,\ldots,A_n$ ta được $n$ tam giác $SA_1A_2,SA_2A_3,\ldots,SA_nS_1$.Hình gồm $n$ tam giác đó và đa giác $A_1A_2\ldots A_n$ được gọi là hình chóp $S.A_1A_2\ldots A_n$
Trong đó:
Điểm $S$ gọi là đỉnh của hình chóp.
Đa giác $A_1A_2\ldots A_n$ gọi là mặt đáy của hình chóp.
Các đoạn thẳng $A_1A_2,A_2A_3,\ldots,A_{n-1}A_n,A_nA_1$ gọi là các cạnh đáy của hình chóp.
Các đoạn thẳng $SA_1,SA_2,\ldots,SA_n$ gọi là các cạnh bên của hình chóp.
Các miền tam giác $SA_1A_2,SA_2A_3,\ldots,SA_nS_1$ gọi là các mặt bên của hình chóp.
Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…
Chú ý:
Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện.Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là hình tứ diện đều.
V Thiết diện
Thiết diện của hình $\mathcal{H}$ và hình $\mathcal Q$ là phần chung nhau giữa 2 hình đó.Thiết diện của mặt phẳng $(\alpha)$ với hình chóp $\mathcal{H} $ là phần chung giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và hình chóp $\mathcal{H} $
Đặc điểm của thiết diện:
Thiết diện là đa giác kín.Các cạnh của thiết diện nằm trên các mặt của hình đa diện.
Cạnh của thiết diện được hình thành từ những đoạn giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của hình đa diện.
Trong giới hạn hình đa diện thì thiết diện có thể cắt hoặc không cắt tất cả các mặt của hình chóp.
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
I Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Cách giải:Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ bằng hai cách:
Tìm đường thẳng chung của 2 mặt phẳng đó
Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$, đường thẳng đi qua hai điểm chung ấy là giao tuyến cần tìm.
Chú ý:
Hai đường thẳng chỉ cắt nhau nếu chúng cùng nằm trong 1 mặt phẳng và không song song với nhau.Nếu $d\subset(\alpha)$ thì mọi điểm $A\in d$ đều thuộc $(\alpha)$
II Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Cách giải:Xác định giao điểm của đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(\alpha)$ theo các bước sau:
Tìm mặt phẳng $(\beta)$ chứa đường thẳng $a$
Tìm giao tuyến $b$ của $(\alpha)$ và $(\beta)$
Giao điểm của đường thẳng $a$ với mặt phẳng $(\alpha)$ là giao điểm của $a$ và $b$.
III Xác định thiết diện
Cách giải:Xác định điểm chung có trước
Từ các điểm chung có trước ta xác định giao tuyến của mặt phẳng với các mặt chứa điểm chung đó.
Từ giao tuyến đó ta xác định đoạn giao tuyến bằng cách tìm giao điểm của giao tuyến với các cạnh của mặt phẳng đó.
Từ giao tuyến tìm được ta tiến hành tìm giao tuyến và các đoạn giao tuyến còn lại cho đến khi được 1 hình kín.
IV Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy trong không gian
Cách giải:Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng, tức là:
Xác định $d=(\alpha)\cap(\beta)$
Chứng minh $d$ đi qua ba điểm $A,B,C$ hoặc chứng minh $AB$ đi qua $C$. Từ đó, suy ra $A,B,C$ thẳng hàng.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này thuộc đường thẳng kia.
Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
A LÝ THUYẾTI Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt
Cho hai đường thẳng $a$ và $b.$ Khi đó, ta có các trường hợp sau:TH1: Có một mặt phẳng chứa $a$ và $b$. Khi đó, ta nói $a$ và $b$ đồng phẳng.
$a$ và $b$ có điểm chung duy nhất $M$. Ta nói $a$ và $b$ cắt nhau tại $M$. Ký hiệu: $a\cap b=\{M\}$ hoặc $a\cap b=M$.
$a$ và $b$ không có điểm chung. Ta nói $a$ và $b$ song song với nhau. Ký hiệu: $a\parallel b$.
$a$ trùng $b$. Ký hiệu: $a\equiv b$
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
$a\parallel b\Leftrightarrow\begin{cases}a\subset(P)\\b\subset(P)\\ a\cap b=\varnothing\end{cases}$
TH2: Không có mặt phẳng nào chứa $a$ và $b$. Khi đó, ta nói $a$ và $b$ chéo nhau hay $a$ chéo $b$.
II Tính chất
Định lý 1:Trong không gian, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Định lý 2 (về giao tuyến của hai mặt phẳng):
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Hệ quả:
Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Định lý 3:
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
I Chứng minh hai đường thẳng song song
Cách giải:Ta có thể chứng minh $a\parallel b$ bằng các cách sau:
Chứng minh $a, b$ đồng phẳng rồi sử dụng các phương pháp chứng minh trong hình học phẳng.
Chứng minh $\left\{\begin{array}{l}a\parallel c\\b\parallel c\end{array}\right.\Rightarrow a\parallel b$
Áp dụng định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng.
Áp dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
II Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng quan hệ song song
Cách giải:Nếu hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ có điểm chung $M$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $d$ và $d’$ thì giao tuyến của $(\alpha),(\beta)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $d$ và $d’$.
III Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng quy
Cách giải:Để chứng minh bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng, ta cần:
- Xác định đường thẳng $a,b$ lần lượt đi qua hai trong bốn điểm.
- Chứng minh $a,b$ song song hoặc cắt nhau. Khi đó, bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta áp dụng định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng.
Đường thẳng và mặt phẳng song song
A LÝ THUYẾTI Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Tùy theo số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:Đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(\alpha)$ không có điểm chung, tức là: $a\cap(\alpha)=\varnothing\Leftrightarrow a\parallel(\alpha)$
Đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(\alpha)$ chỉ có một điểm chung, tức là: $a\cap(\alpha)=\{A\}\Leftrightarrow a$ cắt $(\alpha)$ tại $A$
Đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(\alpha)$ có hai điểm chung, tức là: $a\cap(\alpha)=AB\Leftrightarrow a\subset(\alpha)$
II Tính chất
Định lý 1:Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ và $d$ song song với một đường thẳng $d’$ nằm trong $(\alpha)$ thì $d$ song song với $(\alpha)$.
Định lý 2:
Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$. Nếu mặt phẳng $(\beta)$ chứa $a$ và cắt $(\alpha)$ theo giao tuyến $b$ thì $a\parallel b$.
Hệ quả:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Định lý 3:
Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
I Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Cách giải:- Cách 1: Chứng minh $\begin{cases}d\parallel\Delta\\\Delta\subset(\alpha)\end{cases}\Rightarrow d\parallel(\alpha)$
- Cách 2: Chứng minh $\begin{cases}(\alpha)\cap(\beta)=a\\(\alpha)\cap(\gamma)=b\\(\beta)\cap(\gamma)=d\\a\parallel b\end{cases}\Rightarrow d\parallel(\alpha)$
II Xác định thiết diện song song với đường thẳng
Cách giải:Áp dụng tính chất $\begin{cases}(\alpha)\parallel d\\d\subset(\beta)\\(\alpha)\cap(\beta)=\{M\}\end{cases}\Rightarrow (\alpha)\cap(\beta)=d'\parallel d, M\in d'$ để tìm giao tuyến của $(\alpha)$ với hình đa diện. Từ đó suy ra thiết diện cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$
Hai mặt phẳng song song
A LÝ THUYẾTI Định nghĩa
Hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.II Tính chất
Định lý 1:Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a,b$ cùng song song với mặt phẳng $(\beta)$ thi $(\alpha)$ song song $(\beta)$.
Định lý 2:
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Hệ quả 1:
Nếu đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$ thì qua $d$ có duy nhất một mặt phẳng song song với $(\alpha)$ .
Hệ quả 2:
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hệ quả 3:
Cho điểm $A$ không nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$. Mọi đường thẳng đi qua $A$ và song song với $(\alpha)$ đều nằm trong mặt phẳng đi qua $A$ và song song với $(\alpha)$.
Định lý 3:
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Hệ quả:
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
III Định lý Ta – lét trong không gian
Định lý 4 (Định lý Ta-lét):Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
IV Hình lăng trụ và hình hộp
Định nghĩa hình lăng trụ:Hình gồm hai đa giác $A_1A_2\ldots A_n, A’_1A’_2\ldots A’_n$ và các hình bình hành $A_1A’_1A’_2A_2,A_2A’_2A’_3A_3,\ldots,A_nA’_nA’_1A_1$ được gọi là hình lăng trụ và ký hiệu là $A_1A_2\ldots A_n\cdot A’_1A’_2\ldots A’_n$
Trong đó:
- Hai đa giác $A_1A_2\ldots A_n, A’_1A’_2\ldots A’_n$ được gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ
- Các đoạn thẳng $A_1A’_1,A_2A’_2,\ldots,A_nA’_n$ được gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ
- Các hình bình hành $A_1A’_1A’_2A_2,A_2A’_2A’_3A_3,\ldots,A_nA’_nA’_1A_1$ được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ
- Các đỉnh của hai đa giác được gọi là các đỉnh của hình lăng trụ
- Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau.
- Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
- Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
- Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác …
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.
Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.
Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.
V Hình chóp cụt
Định nghĩa:Cho hình chóp $S.A_1A_2\ldots A_n$. Một mặt phẳng $(P)$ không qua đỉnh, song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt các cạnh $SA_1,SA_2,\ldots,SA_n$ theo thứ tự tại $A’_1,A’_2,\ldots,A’_n$. Hình tạo bởi thiết diện $A’_1A’_2\ldots A’_n$ và đáy $A_1A_2\ldots A_n$ của hình chóp cùng với các mặt bên $A_1A’_1A’_2A_2,A_2A’_2A’_3A_3,\ldots,A_nA’_nA’_1A_1$ gọi là hình chóp cụt.
Tính chất:
- Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
- Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
- Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.
I Chứng minh hai mặt phẳng song song
Cách giải:- Cách 1: Chứng minh $\begin{cases}a\parallel(\beta)\\b\parallel(\beta)\\a\cap b=\{M\}\\a,b\subset(\alpha)\end{cases}\Rightarrow(\alpha)\parallel(\beta)$
- Cách 2: Chứng minh $\begin{cases}a\parallel a’\\b\parallel b’\\a\cap b=\{M\}\\a’\cap b’=\{M’\}\\a,b\subset(\alpha)\\a’,b’\subset(\beta)\end{cases}\Rightarrow(\alpha)\parallel(\beta)$
II Xác định thiết diện song song với mặt phẳng
Cách giải:- Cách 1: Nếu $(\alpha)$ song song với $(\beta)$ thì song song với mọi đường thẳng trong $(\beta)$. Bài toán trở thành tìm thiết diện song song với đường thẳng.
- Cách 2: Xác định $d\subset(\beta)$ và xét các mặt phẳng trong hình đa diện chứa $d$. Khi đó, $(\alpha)\parallel d$ nên cắt các mặt phẳng chứa $d$ (nếu có) theo các giao tuyến song song với $d$.
Phép chiếu song song.
Hình biểu diễn của một hình không gian
A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂMHình biểu diễn của một hình không gian
I Phép chiếu song song.
Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ cắt nhau. Với mỗi điểm $M$ trong không gian, đường thẳng đi qua $M$ và song song hoặc trùng với $\Delta$ sẽ cắt $(\alpha)$ tại điểm $M’$ xác định. Điểm $M’$ được gọi là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(\alpha)$ theo phương của đường thẳng $\Delta$.II Tính chất của phép chiếu song song.
- Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
- Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
- Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
III Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng.
- Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác có dạng tùy ý cho trước (tam giác cân, đều, vuông…) .
- Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước ( hình bình hành, hình vuông ,hình thoi, hình chữ nhật,…)
- Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài của hai cạnh đáy được bảo toàn.
- Hình elip là hình biểu diễn của hình tròn.
I Vẽ hình biểu diễn của một hình cho trước.
Cách giải:Xác định yếu tố bất biến trong hình vẽ như: các yếu tố song song, tỉ số đoạn thẳng,…
II Các bài toán về tính tỉ số của hai đoạn thẳng và chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Cách giải:Để tính tỉ số $\dfrac{MA}{MB}$ ta xét phép chiếu song song lên mặt phẳng $(\alpha)$ theo phương $\Delta$ không song song với $AB$ sao cho ảnh của $M,A,B$ là ba điểm $M’,A’,B’$ mà từ đó ta tính được $\dfrac{M’A’}{M’B’}$.
Từ đó suy ra $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{M’A’}{M’B’}$.
Tổng hợp topic ôn thi học kì
Last edited by a moderator:
