Toán 11 [Ôn thi HK] Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

[Bùi Tấn Phát]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Hello mụi ngừi, hôm nay mình sẽ ôn một chút về lý thuyết và một bài tập cơ bản về phần dãy số, mong nó sẽ giúp ích cho mụi ngừi

1. Định nghĩa​

a) Dãy vô hạn​

Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập số nguyên dương $\mathbb N^*$ được gọi là một dãy số vô hạn (dãy số). Ký hiệu:
$\begin{align*}u: N^*&\rightarrow R\\n&\mapsto u(n)\end{align*}$
Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển $u_1,u_2,\dotsc,u_n,\dotsc$, trong đó $u(n)=u_n$ được gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

b) Dãy hữu hạn​

Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập $\mathbb M = \{1, 2, 3,\dotsc, m\}$, với $m\in\mathbb N^*$ được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển $u_1,u_2,\dotsc,u_m$ với $u_1$ là số hạng đầu, $u_m$ là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số thường gặp​

a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.​

khi đó $u_n=f(n)$, trong đó $f$ là một hàm số xác định trên $\mathbb N^*$
VD: $u(n): u_n=n^2+1$

b) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)​

- Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu).
- Với $n \ge 2$, cho một công thức tính $u_n$ nếu biết $u_{n−1}$ (hoặc một vài số hạng đứng trước đó)
VD: $u(n):\begin{cases}u_1=a\\u_{n+1}=u_n^2-2\end{cases}$

3. Dãy số tăng, dãy số giảm​

Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu $u_{n+1}>u_n,\forall n\in\mathbb N^*$
Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu $u_{n+1}<u_n,\forall n\in\mathbb N^*$

**Phương pháp xét tính tăng giảm:​

Xét hiệu $H=u_{n+1}−u_n$
Nếu $H>0$ thì dãy tăng
Nếu $H<0$ thì dãy giảm
Xét thương $T=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ với $u_n>0\forall n\in\mathbb N^*$
+ nếu $T>1$ thì dãy tăng
+ nếu $T<1$ thì dãy giảm

4. Dãy số bị chặn​

Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số $M$ sao cho
$u_n \le M$, với mọi $n\in\mathbb N^*$
Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số $m$ sao cho
$u_n \ge m$, với mọi $n\in\mathbb N^*$
Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới

5. Cấp số cộng​

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó số sau bằng số trước cộng với một số $d$ không đổi, khi đó $d$ được gọi là công sai

* Cấp số cộng có những tính chất:​

$un=u_1+(n−1)d=\dfrac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}$
$S_n=u_1+u_2+\dotsc+u_n=n.u_1+\dfrac{n(n−1)}{2}$

6. Cấp số nhân​

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó số sau bằng số trước nhân với một số $q$ không đổi, khi đó $q$ được gọi là công bội

* Cấp số nhân có những tính chất:​

$u_n=u_1.q^{n−1}$
$u^2_n=u_{n−1}.u_{n+1}$
$S_n=u_1+u_2+\dotsc+u_n =u_1.\dfrac{1-q^n}{1-q}$
$S=\dfrac{u_1}{1-q}$ với $S$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn $(|q|<1)$,

7. Bài tập​

Câu 1: Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? Tại sao?

$A.u_n=n^2\qquad B.u_n=(-1)^n.n\qquad C.u_n=\dfrac{n}{3^n}\qquad D.u_n=2n$

Câu 2: Cho cấp số nhân $(u_n):u_1=3,q=\dfrac12$. Hỏi số $\dfrac{3}{256}$ là số hạng thứ mấy?

Câu 3: Cho cấp số cộng $(u_n)$, biết $u_2=2$ và $u_4=7$. Giá trị của $u_{15}$ bằng bao nhiêu?

Câu 4: Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=1-3n$. Tổng của $10$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng mấy?

Câu 5: Cho cấp số nhân $(u_n):\begin{cases}u_4-u_2=54\\u_5-u_3=108\end{cases}$. Tìm số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ của cấp số nhân trên.

Câu 6: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng? Vì sao?

$A.u_n=\dfrac{n}{3^n}\qquad B.u_n=\dfrac{n+3}{n+1}\qquad C.u_n=n^2+2n\qquad D.u_n=\dfrac{(-1)^2}{3^n}$


Topic ôn thi học kì