- 7 Tháng tám 2017
- 4,506
- 10,437
- 1,114
- Khánh Hòa
- $\color{Blue}{\text{Bỏ học}}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Xin chào các bạn. Bài viết này sẽ tóm tắt nội dung lý thuyết của Chương IV - BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. Các định nghĩa.
1. Bất đẳng thức.
- Các mệnh đề dạng “[imath]a<b[/imath]”; “[imath]a>b[/imath]”; “[imath]a\le b[/imath]” hoặc “[imath]a\ge b[/imath]” được gọi là bất đẳng thức.
- Các bất đẳng thức dạng “[imath]a<b[/imath]” hoặc “[imath]a>b[/imath]” được gọi là các bất đẳng thức ngặt, các bất đẳng thức dạng “[imath]a\le b[/imath]” hoặc “[imath]a\ge b[/imath]” được gọi là các bất đẳng thức không ngặt.
- Nếu mệnh đề “[imath]a<b\Rightarrow c<d[/imath]” là đúng thì ta nói bất đẳng thức [imath]c<d[/imath] là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức [imath]a<b[/imath] và cũng viết là [imath]a<b\Rightarrow c<d[/imath].
- Nếu bất đẳng thức [imath]a<b[/imath] là hệ quả của bất đẳng thức [imath]c<d[/imath] và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là [imath]a<b\Leftrightarrow c<d[/imath].
2. Bất phương trình một ẩn.
- Bất phương trình ẩn [imath]x[/imath] là mệnh đề chứa biến có dạng
trong đó [imath]f(x)[/imath] và [imath]g(x)[/imath] là những biểu thức chứa [imath]x[/imath].
- Ta gọi [imath]f(x)[/imath] và [imath]g(x)[/imath] lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình [imath](1)[/imath].
- Số thực [imath]x_0[/imath] sao cho [imath]f(x_0)<g(x_0)[/imath] [imath](f(x_0)\le g(x_0))[/imath] là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình [imath](1)[/imath].
- Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.
- Các điều kiện của ẩn số [imath]x[/imath] để [imath]f(x)[/imath] và [imath]g(x)[/imath] có nghĩa được gọi là điều kiện xác định (điều kiện) của bất phương trình [imath](1)[/imath].
- Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó.
3. Hệ bất phương trình một ẩn.
- Hệ bất phương trình một ẩn [imath]x[/imath] gồm một số bất phương trình ẩn [imath]x[/imath] mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.
- Mỗi giá trị [imath]x[/imath] đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
- Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Để giải hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.
4. Bất phương trình tương đương.
- Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương. Khi hai hệ bất phương trình có cùng tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau. Ta dùng kí hiệu “[imath]\Leftrightarrow[/imath]” để chỉ sự tương đương đó.
- Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.
5. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn [imath]x,y[/imath] có dạng tổng quát là
trong đó [imath]a,b,c[/imath] là những số thực đã cho, [imath]a,b[/imath] không đồng thời bằng [imath]0[/imath], [imath]x[/imath] và [imath]y[/imath] là các ẩn số.
- Trong mặt phẳng tọa độ [imath]Oxy[/imath], tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình [imath](1)[/imath] được gọi là miền nghiệm của nó.
- Ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
6. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn [imath]x,y[/imath] mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
- Cũng giống như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
7. Bất phương trình bậc hai một ẩn.
- Bất phương trình bậc hai ẩn [imath]x[/imath] là bất phương trình có dạng [imath]ax^2+bx+c<0[/imath] (hoặc [imath]ax^2+bx+c\le0;ax^2+bx+c>0;ax^2+bx+c\ge0[/imath]), trong đó [imath]a,b,c[/imath] là những số thực đã cho, [imath]a\ne 0[/imath].
- Giải bất phương trình bậc hai [imath]ax^2+bx+c<0[/imath] thực chất là tìm các khoảng mà trong đó [imath]f(x)=ax^2+bx+c[/imath] cùng dấu với hệ số [imath]a[/imath] (trường hợp [imath]a<0[/imath]) hay trái dấu với hệ số [imath]a[/imath] (trường hợp [imath]a>0[/imath]).
II. Các kiến thức thường dùng.
1. Tính chất của bất đẳng thức.
Các tính chất trong bảng trên cũng đúng với các bất đẳng thức không ngặt.
2. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cô-si)
a. Bất đẳng thức Cô-si:
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.
Đẳng thức [imath]\sqrt{ab}=\dfrac{a+b}2[/imath] xảy ra khi và chỉ khi [imath]a=b[/imath].
b. Các hệ quả.
- Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng [imath]2[/imath].
- Nếu [imath]x,y[/imath] cùng dương và có tổng không đổi thì tích [imath]xy[/imath] lớn nhất khi và chỉ khi [imath]x=y[/imath].
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
- Nếu [imath]x,y[/imath] cùng dương và có tích không đổi thì tổng [imath]x+y[/imath] nhỏ nhất khi và chỉ khi [imath]x=y[/imath].
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
3. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
4. Các phép biến đổi tương đương.
+) [imath]P(x)<Q(x)\Leftrightarrow P(x)+f(x)<Q(x)+f(x)[/imath]
+) [imath]P(x)<Q(x)+f(x)\Leftrightarrow P(x)-f(x)<Q(x)[/imath]
+) [imath]P(x)<Q(x)\Leftrightarrow P(x).f(x)<Q(x).f(x)[/imath] nếu [imath]f(x)>0,\forall x[/imath]
+) [imath]P(x)<Q(x)\Leftrightarrow P(x).f(x)>Q(x).f(x)[/imath] nếu [imath]f(x)<0,\forall x[/imath]
+) [imath]P(x)<Q(x)\Leftrightarrow P^2(x)<Q^2(x)[/imath] nếu [imath]P(x)\ge 0,Q(x)\ge 0,\forall x[/imath]
Chú ý:
1. Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của [imath]x[/imath] thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.
2. Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình [imath]P(x)<Q(x)[/imath] với biểu thức [imath]f(x)[/imath] ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của [imath]f(x)[/imath]. Nếu [imath]f(x)[/imath] nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình.
3. Khi giải bất phương trình [imath]P(x)<Q(x)[/imath] mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp:
a. [imath]P(x),Q(x)[/imath] cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.
b. [imath]P(x),Q(x)[/imath] cùng có giá trị âm ta viết [imath]P(x)<Q(x)\Leftrightarrow –Q(x)<-P(x)[/imath] rồi bình phương hai vế của phương trình mới.
5. Dấu của nhị thức bậc nhất.
Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất [imath]f(x)=ax+b[/imath]
Giả sử [imath]f(x)[/imath] là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong [imath]f(x)[/imath] ta suy ra được dấu của [imath]f(x)[/imath]. Trường hợp [imath]f(x)[/imath] là một thương cũng được xét tương tự.
Phương pháp xét dấu thu gọn.
Sử dụng trong trường hợp [imath]f(x)[/imath] là tích hoặc thương của các nhị thức bậc nhất với các nghiệm đôi một phân biệt.
Bước 1. Tìm tất cả các nghiệm của các nhị thức ở tử thức và mẫu thức. Sắp xếp các nghiệm đó trên dòng của [imath]x[/imath] theo thứ tự từ bé đến lớn.
Bước 2. Nếu [imath]x[/imath] là nghiệm của một nhị thức ở tử thức thì [imath]f(x)=0[/imath], nếu [imath]x[/imath] là nghiệm của một nhị thức ở mẫu thức thì [imath]f(x)[/imath] không xác định (kí hiệu [imath]||[/imath]).
Bước 3. Xét dấu [imath]f(x)[/imath] theo quy tắc.
[imath]f(x)[/imath] gồm các nhị thức [imath]2x+3;2-x;x+4;5-3x[/imath].
[imath]f(x)[/imath] có điều kiện [imath]x\not{\in}\{-4;\dfrac{5}3\}[/imath]
[imath]f(x)[/imath] có nghiệm [imath]x=-\dfrac{3}2;x=2[/imath].
Tích các hệ số [imath]a[/imath] là [imath]2(-1)1(-3)>0[/imath]
Ta có bảng xét dấu:
6. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
+) Với [imath]a>0[/imath], [imath]|f(x)|\le a\Leftrightarrow –a\le f(x)\le a[/imath]
+) Với [imath]a>0[/imath], [imath]|f(x)|\ge a\Leftrightarrow f(x)\le –a[/imath] hoặc [imath]f(x)\ge a[/imath]
+) [imath]|A|<B\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B>0\\-B<A<B\end{matrix}\right.[/imath]
+) [imath]|A|>B\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B<0\\A \text{ có nghĩa}\end{matrix}\right.[/imath] hoặc [imath]\left\{\begin{matrix} B\ge 0\\\left[\begin{matrix} A>B\\A<-B\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.[/imath]
+) [imath]|A|>|B|\Leftrightarrow A^2-B^2>0[/imath]
7. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 1. Trên mặt phẳng [imath]Oxy[/imath], vẽ đường thẳng [imath]\Delta:ax+by=c[/imath].
Bước 2. Lấy một điểm [imath]M_0(x_0;y_0)[/imath] không thuộc [imath]\Delta[/imath] (thường lấy gốc tọa độ [imath]O[/imath]).
Bước 3. Tính [imath]ax_0+by_0[/imath] và so sánh [imath]ax_0+by_0[/imath] với [imath]c[/imath].
Bước 4. Kết luận.
Nếu [imath]ax_0+by_0<c[/imath] thì nửa mặt phẳng bờ [imath]\Delta[/imath] chứa [imath]M_0[/imath] là miền nghiệm của [imath]ax+by\le c[/imath]
Nếu [imath]ax_0+by_0>c[/imath] thì nửa mặt phẳng bờ [imath]\Delta[/imath] không chứa [imath]M_0[/imath] là miền nghiệm của [imath]ax+by\le c[/imath]
Chú ý.
Trong mặt phẳng tọa độ [imath]Oxy[/imath], đường thẳng [imath]ax+by=c[/imath] chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mặt phẳng đó là miền nghiệm của bất phương trình [imath]ax+by\le c[/imath], nửa mặt phẳng kia là miền nghiệm của bất phương trình [imath]ax+by\ge c[/imath]
Miền nghiệm của bất phương trình [imath]ax+by\le c[/imath] bỏ đi đường thẳng [imath]ax+by=c[/imath] là miền nghiệm của bất phương trình [imath]ax+by<c[/imath].
8. Dấu của tam thức bậc hai.
Tam thức bậc hai có dạng [imath]f(x)=ax^2+bx+c(a\ne 0)[/imath]
[imath]\Delta=b^2-4ac[/imath]
Nếu [imath]\Delta<0[/imath] thì [imath]f(x)[/imath] luôn cùng dấu với [imath]a\forall x\in\mathbb{R}[/imath]
Nếu [imath]\Delta=0[/imath] thì [imath]f(x)[/imath] luôn cùng dấu với [imath]a\forall x\ne\dfrac{-b}{2a}[/imath] và bằng [imath]0[/imath] khi [imath]x=-\dfrac{-b}{2a}[/imath]
Nếu [imath]\Delta >0[/imath] thì [imath]f(x)[/imath] cùng dấu với hệ số [imath]a[/imath] khi [imath]x<x_1[/imath] hoặc [imath]x>x_2[/imath], trái dấu với hệ số [imath]a[/imath] khi [imath]x_1<x<x_2[/imath], trong đó [imath]x_1,x_2 (x_1<x_2)[/imath] là hai nghiệm của [imath]f(x)[/imath].
I. Các định nghĩa.
1. Bất đẳng thức.
- Các mệnh đề dạng “[imath]a<b[/imath]”; “[imath]a>b[/imath]”; “[imath]a\le b[/imath]” hoặc “[imath]a\ge b[/imath]” được gọi là bất đẳng thức.
- Các bất đẳng thức dạng “[imath]a<b[/imath]” hoặc “[imath]a>b[/imath]” được gọi là các bất đẳng thức ngặt, các bất đẳng thức dạng “[imath]a\le b[/imath]” hoặc “[imath]a\ge b[/imath]” được gọi là các bất đẳng thức không ngặt.
- Nếu mệnh đề “[imath]a<b\Rightarrow c<d[/imath]” là đúng thì ta nói bất đẳng thức [imath]c<d[/imath] là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức [imath]a<b[/imath] và cũng viết là [imath]a<b\Rightarrow c<d[/imath].
- Nếu bất đẳng thức [imath]a<b[/imath] là hệ quả của bất đẳng thức [imath]c<d[/imath] và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là [imath]a<b\Leftrightarrow c<d[/imath].
2. Bất phương trình một ẩn.
- Bất phương trình ẩn [imath]x[/imath] là mệnh đề chứa biến có dạng
[imath]f(x)<g(x)[/imath] [imath](f(x)\le g(x))[/imath] [imath](1)[/imath]
trong đó [imath]f(x)[/imath] và [imath]g(x)[/imath] là những biểu thức chứa [imath]x[/imath].
- Ta gọi [imath]f(x)[/imath] và [imath]g(x)[/imath] lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình [imath](1)[/imath].
- Số thực [imath]x_0[/imath] sao cho [imath]f(x_0)<g(x_0)[/imath] [imath](f(x_0)\le g(x_0))[/imath] là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình [imath](1)[/imath].
- Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.
- Các điều kiện của ẩn số [imath]x[/imath] để [imath]f(x)[/imath] và [imath]g(x)[/imath] có nghĩa được gọi là điều kiện xác định (điều kiện) của bất phương trình [imath](1)[/imath].
- Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó.
3. Hệ bất phương trình một ẩn.
- Hệ bất phương trình một ẩn [imath]x[/imath] gồm một số bất phương trình ẩn [imath]x[/imath] mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.
- Mỗi giá trị [imath]x[/imath] đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
- Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Để giải hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.
4. Bất phương trình tương đương.
- Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương. Khi hai hệ bất phương trình có cùng tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau. Ta dùng kí hiệu “[imath]\Leftrightarrow[/imath]” để chỉ sự tương đương đó.
- Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.
5. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn [imath]x,y[/imath] có dạng tổng quát là
[imath]ax+by\le c[/imath] [imath](1)[/imath]
[imath](ax+by<c;ax+by>c;ax+by\ge c)[/imath]
[imath](ax+by<c;ax+by>c;ax+by\ge c)[/imath]
trong đó [imath]a,b,c[/imath] là những số thực đã cho, [imath]a,b[/imath] không đồng thời bằng [imath]0[/imath], [imath]x[/imath] và [imath]y[/imath] là các ẩn số.
- Trong mặt phẳng tọa độ [imath]Oxy[/imath], tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình [imath](1)[/imath] được gọi là miền nghiệm của nó.
- Ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
6. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn [imath]x,y[/imath] mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
- Cũng giống như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
7. Bất phương trình bậc hai một ẩn.
- Bất phương trình bậc hai ẩn [imath]x[/imath] là bất phương trình có dạng [imath]ax^2+bx+c<0[/imath] (hoặc [imath]ax^2+bx+c\le0;ax^2+bx+c>0;ax^2+bx+c\ge0[/imath]), trong đó [imath]a,b,c[/imath] là những số thực đã cho, [imath]a\ne 0[/imath].
- Giải bất phương trình bậc hai [imath]ax^2+bx+c<0[/imath] thực chất là tìm các khoảng mà trong đó [imath]f(x)=ax^2+bx+c[/imath] cùng dấu với hệ số [imath]a[/imath] (trường hợp [imath]a<0[/imath]) hay trái dấu với hệ số [imath]a[/imath] (trường hợp [imath]a>0[/imath]).
II. Các kiến thức thường dùng.
1. Tính chất của bất đẳng thức.
Điều kiện | Tính chất |
| [imath]a<b\Leftrightarrow a+c<b+c[/imath] |
[imath]c>0[/imath] | [imath]a<b\Leftrightarrow ac<bc[/imath] |
[imath]c<0[/imath] | [imath]a<b\Leftrightarrow ac>bc[/imath] |
| [imath]a<b[/imath] và [imath]c<d\Rightarrow a+c<b+d[/imath] | |
[imath]a>0,c>0[/imath] | [imath]a<b[/imath] và [imath]c<d\Rightarrow ac<bd[/imath] |
[imath]n\in\mathbb{N}^*[/imath] | [imath]a<b\Leftrightarrow a^{2n+1}<b^{2n+1}[/imath] |
[imath]n\in\mathbb{N}^*[/imath] và [imath]a>0[/imath] | [imath]a<b\Leftrightarrow a^{2n}<b^{2n}[/imath] |
[imath]a>0[/imath] | [imath]a<b\Leftrightarrow \sqrt{a}<\sqrt{b}[/imath] |
| [imath]a<b\Leftrightarrow \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}[/imath] |
2. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cô-si)
a. Bất đẳng thức Cô-si:
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.
[imath]\sqrt{ab}\le \dfrac{a+b}2,\forall a,b\ge 0[/imath]
Đẳng thức [imath]\sqrt{ab}=\dfrac{a+b}2[/imath] xảy ra khi và chỉ khi [imath]a=b[/imath].
b. Các hệ quả.
- Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng [imath]2[/imath].
[imath]a+\dfrac1a\ge 2,\forall a>0[/imath]
- Nếu [imath]x,y[/imath] cùng dương và có tổng không đổi thì tích [imath]xy[/imath] lớn nhất khi và chỉ khi [imath]x=y[/imath].
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
- Nếu [imath]x,y[/imath] cùng dương và có tích không đổi thì tổng [imath]x+y[/imath] nhỏ nhất khi và chỉ khi [imath]x=y[/imath].
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
3. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Điều kiện | Tính chất |
| [imath]|x|\ge 0;|x|\ge x;|x|\ge –x[/imath] | |
[imath]a>0[/imath] | [imath]|x|\le a\Leftrightarrow –a\le x\le a[/imath] |
[imath]a>0[/imath] | [imath]|x|\ge a\leftrightarrow x\le -a[/imath] hoặc [imath]x\ge a[/imath] |
| [imath]|a|-|b|\le |a+b|\le |a|+|b|[/imath] |
4. Các phép biến đổi tương đương.
+) [imath]P(x)<Q(x)\Leftrightarrow P(x)+f(x)<Q(x)+f(x)[/imath]
+) [imath]P(x)<Q(x)+f(x)\Leftrightarrow P(x)-f(x)<Q(x)[/imath]
+) [imath]P(x)<Q(x)\Leftrightarrow P(x).f(x)<Q(x).f(x)[/imath] nếu [imath]f(x)>0,\forall x[/imath]
+) [imath]P(x)<Q(x)\Leftrightarrow P(x).f(x)>Q(x).f(x)[/imath] nếu [imath]f(x)<0,\forall x[/imath]
+) [imath]P(x)<Q(x)\Leftrightarrow P^2(x)<Q^2(x)[/imath] nếu [imath]P(x)\ge 0,Q(x)\ge 0,\forall x[/imath]
Chú ý:
1. Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của [imath]x[/imath] thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.
2. Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình [imath]P(x)<Q(x)[/imath] với biểu thức [imath]f(x)[/imath] ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của [imath]f(x)[/imath]. Nếu [imath]f(x)[/imath] nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình.
3. Khi giải bất phương trình [imath]P(x)<Q(x)[/imath] mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp:
a. [imath]P(x),Q(x)[/imath] cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.
b. [imath]P(x),Q(x)[/imath] cùng có giá trị âm ta viết [imath]P(x)<Q(x)\Leftrightarrow –Q(x)<-P(x)[/imath] rồi bình phương hai vế của phương trình mới.
5. Dấu của nhị thức bậc nhất.
Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất [imath]f(x)=ax+b[/imath]
[imath]x[/imath] | [imath]-\infty[/imath] | [imath]-\dfrac{b}a[/imath] | [imath]+\infty[/imath] | ||
[imath]f(x)=ax+b[/imath] | trái dấu với [imath]a[/imath] | [imath]0[/imath] | cùng dấu với [imath]a[/imath] | |
Giả sử [imath]f(x)[/imath] là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong [imath]f(x)[/imath] ta suy ra được dấu của [imath]f(x)[/imath]. Trường hợp [imath]f(x)[/imath] là một thương cũng được xét tương tự.
Phương pháp xét dấu thu gọn.
Sử dụng trong trường hợp [imath]f(x)[/imath] là tích hoặc thương của các nhị thức bậc nhất với các nghiệm đôi một phân biệt.
Bước 1. Tìm tất cả các nghiệm của các nhị thức ở tử thức và mẫu thức. Sắp xếp các nghiệm đó trên dòng của [imath]x[/imath] theo thứ tự từ bé đến lớn.
Bước 2. Nếu [imath]x[/imath] là nghiệm của một nhị thức ở tử thức thì [imath]f(x)=0[/imath], nếu [imath]x[/imath] là nghiệm của một nhị thức ở mẫu thức thì [imath]f(x)[/imath] không xác định (kí hiệu [imath]||[/imath]).
Bước 3. Xét dấu [imath]f(x)[/imath] theo quy tắc.
- Khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với tích của tất cả các hệ số [imath]a[/imath].
- Hai khoảng kề nhau có dấu ngược nhau (quy tắc “đan dấu”).
[imath]f(x)[/imath] gồm các nhị thức [imath]2x+3;2-x;x+4;5-3x[/imath].
[imath]f(x)[/imath] có điều kiện [imath]x\not{\in}\{-4;\dfrac{5}3\}[/imath]
[imath]f(x)[/imath] có nghiệm [imath]x=-\dfrac{3}2;x=2[/imath].
Tích các hệ số [imath]a[/imath] là [imath]2(-1)1(-3)>0[/imath]
Ta có bảng xét dấu:
[imath]x[/imath] | [imath]-\infty[/imath] | [imath]-4[/imath] | [imath]-\dfrac{3}2[/imath] | [imath]\dfrac{5}3[/imath] | [imath]2[/imath] | [imath]+\infty[/imath] | |||||
[imath]f(x)[/imath] | [imath]+[/imath] | [imath]||[/imath] | [imath]-[/imath] | [imath]0[/imath] | [imath]+[/imath] | [imath]||[/imath] | [imath]-[/imath] | [imath]0[/imath] | [imath]+[/imath] |
6. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
+) Với [imath]a>0[/imath], [imath]|f(x)|\le a\Leftrightarrow –a\le f(x)\le a[/imath]
+) Với [imath]a>0[/imath], [imath]|f(x)|\ge a\Leftrightarrow f(x)\le –a[/imath] hoặc [imath]f(x)\ge a[/imath]
+) [imath]|A|<B\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B>0\\-B<A<B\end{matrix}\right.[/imath]
+) [imath]|A|>B\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B<0\\A \text{ có nghĩa}\end{matrix}\right.[/imath] hoặc [imath]\left\{\begin{matrix} B\ge 0\\\left[\begin{matrix} A>B\\A<-B\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.[/imath]
+) [imath]|A|>|B|\Leftrightarrow A^2-B^2>0[/imath]
7. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 1. Trên mặt phẳng [imath]Oxy[/imath], vẽ đường thẳng [imath]\Delta:ax+by=c[/imath].
Bước 2. Lấy một điểm [imath]M_0(x_0;y_0)[/imath] không thuộc [imath]\Delta[/imath] (thường lấy gốc tọa độ [imath]O[/imath]).
Bước 3. Tính [imath]ax_0+by_0[/imath] và so sánh [imath]ax_0+by_0[/imath] với [imath]c[/imath].
Bước 4. Kết luận.
Nếu [imath]ax_0+by_0<c[/imath] thì nửa mặt phẳng bờ [imath]\Delta[/imath] chứa [imath]M_0[/imath] là miền nghiệm của [imath]ax+by\le c[/imath]
Nếu [imath]ax_0+by_0>c[/imath] thì nửa mặt phẳng bờ [imath]\Delta[/imath] không chứa [imath]M_0[/imath] là miền nghiệm của [imath]ax+by\le c[/imath]
Chú ý.
Trong mặt phẳng tọa độ [imath]Oxy[/imath], đường thẳng [imath]ax+by=c[/imath] chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mặt phẳng đó là miền nghiệm của bất phương trình [imath]ax+by\le c[/imath], nửa mặt phẳng kia là miền nghiệm của bất phương trình [imath]ax+by\ge c[/imath]
Miền nghiệm của bất phương trình [imath]ax+by\le c[/imath] bỏ đi đường thẳng [imath]ax+by=c[/imath] là miền nghiệm của bất phương trình [imath]ax+by<c[/imath].
8. Dấu của tam thức bậc hai.
Tam thức bậc hai có dạng [imath]f(x)=ax^2+bx+c(a\ne 0)[/imath]
[imath]\Delta=b^2-4ac[/imath]
Nếu [imath]\Delta<0[/imath] thì [imath]f(x)[/imath] luôn cùng dấu với [imath]a\forall x\in\mathbb{R}[/imath]
Nếu [imath]\Delta=0[/imath] thì [imath]f(x)[/imath] luôn cùng dấu với [imath]a\forall x\ne\dfrac{-b}{2a}[/imath] và bằng [imath]0[/imath] khi [imath]x=-\dfrac{-b}{2a}[/imath]
Nếu [imath]\Delta >0[/imath] thì [imath]f(x)[/imath] cùng dấu với hệ số [imath]a[/imath] khi [imath]x<x_1[/imath] hoặc [imath]x>x_2[/imath], trái dấu với hệ số [imath]a[/imath] khi [imath]x_1<x<x_2[/imath], trong đó [imath]x_1,x_2 (x_1<x_2)[/imath] là hai nghiệm của [imath]f(x)[/imath].
