Ôn tập toán thi vào lớp 10 chuyên

[embecuao]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

0. Tìm Min A = [TEX]\frac{6-4x}{x^2 + 1}[/TEX]

1. Cho [TEX]x \geq 2y[/TEX]. Tìm Min M = [TEX]\frac{x^2 + y^2 }{xy}[/TEX]

2. Cho a,b,c > 0 và [TEX]a^2 + b^2 + c^2[/TEX] = 3
Chứng minh: [TEX]\frac{a}{a^2 + 2b +3} + \frac{b}{b^2 + 2c +3} + \frac{c}{c^2 + 2a +3} \leq \frac{1}{2}[/TEX]

3. Cho x,y > 0 và x+2y=3
Chứng minh: [TEX]\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \geq 3[/TEX]

4. Tìm m để Max (A) = [TEX]\frac{2x+m}{x^2 +1}[/TEX] = 2

5. Cho x,y,z > 0 và x+y+z=3. Chứng minh:

[TEX]\frac{x}{x+ \sqrt{3x+yz}} + \frac{y}{y+ \sqrt{3y+ zx}} + \frac{z}{z+ \sqrt{3z-xy}} \leq 1[/TEX]

6. Cho [TEX]a^2 + b^2 = 1[/TEX] và [TEX]\frac{a^4}{c} + \frac{b^4}{c} = \frac{1}{c+d}[/TEX]
Chứng minh: [TEX]\frac{a^2}{c} + \frac{d}{b^2} \geq 2[/TEX]

7. Cho [TEX]0 \leq x,y,x \leq 1[/TEX] và x+y+z = 2
Tìm Min (A) biết [TEX]A= \frac{(x-1)^2}{z} + \frac{(y-1)^2}{x} + \frac{(z-1)^2}{y}[/TEX]

9. Cho x+y+z=4. Chứng minh: [TEX]\frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} \geq 1[/TEX]

 

[duchieu300699]

0. $A=\frac{6-4x}{x^{2}+1}$
\Rightarrow $Ax^2+4x+A-6=0$
$\bigtriangleup'=2-A(A-6)=-A^2+6A+2$\geq 0
\Leftrightarrow $3-\sqrt{11}$\leq $A$ \leq$3+\sqrt{11}$
Dấu "=" tự suy ra

 

[duchieu300699]

4. $A=\frac{2x+m}{x^2+1}$
Làm tương tự giống bài 0 ra được
$\bigtriangleup'=-A^2+mA+1$\geq 0
\Leftrightarrow $A^2-mA-1$ \leq 0
Để A \leq 2 tức PT $A^2-mA-1$ phải có 1 nghiệm =2
Thay A=2 ta tìm được m=1,5

 

[duchieu300699]

5. Bạn xem lại đề, sao mình thử x=y=z=1 thì nó ra 1,0808.....

3. $A=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{3-2y}+\frac{2}{y}=\frac{6-3y}{3y-2y^2}$
Cần c/m A \geq 3
\Leftrightarrow $\frac{6-3y}{3y-2y^2}$ \geq 3
\Leftrightarrow $6-3y$ \geq $9y-6y^2$
\Leftrightarrow $6y^2-12y+6$ \geq 0 \Rightarrow Đúng
Vậy $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$ \geq 3

 

[letsmile519]

9.

$\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$\geq $\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}$\geq $\frac{4}{\frac{(x+y+z)^2}{4}}=1$

 

[eye_smile]

3,Cách khác:
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2y}$ \geq $\dfrac{9}{x+2y}=3$
Dấu"=" xảy ra \Leftrightarrow x=y=1

 

[letsmile519]

7.

A\geq $$\frac{(x+y+z-3)^2}{x+y+z}=\frac{(2-3)^2}{2}=\frac{1}{2}$$

Dấu = khi $x=y=z=\frac{2}{3}$

 

[letsmile519]

2.

Ta có $a^2+1$\geq$2a$

$b^2+1$\geq $2b$

$c^2+1$\geq $2c$

Đặt A là biểu thức cần tìm Max

\Leftrightarrow $A$\leq$\frac{1}{2}(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1})$

Ta sẽ đi CM cho $\frac{1}{2}(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1})$\leq1

BĐT trên tương đương với

B=$\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}$\geq $2$

Áp dụng AM-GM

B\geq$\frac{(a+b+c+3)^2}{(b+1)(a+b+1)+(c+1)(b+c+1)+(a+1)(c+a+1)}$

Mà $a^2+b^2+C^2=3$
\Rightarrow
$(b+1)(a+b+1)+(c+1)(b+c+1)+(a+1)(c+a+1)=3(a+b+c)+ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2+3=\frac{1}{2}(a+b+c+3)^2$

\Rightarrow B\geq $\frac{(a+b+c+3)^2}{(b+1)(a+b+1)+(c+1)(b+c+1)+(a+1)(c+a+1)}=\frac{(a+b+c+3)^2}{\frac{1}{2}(a+b+c+3)^2}$

\Rightarrow B\geq2

=>ĐPCM
Ta sẽ đi CM cho $(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1})$\leq1