[Ôn tập] Toán 12

[lequangvinh9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) m? pt [TEX](4m-3)\sqrt{x+3}+(3m-4)\sqrt{1-x}+m-1=0[/TEX]có nghiệm

2) CMR: [TEX]e^x+cosx \geq 2+x-\frac{x^2}{2}, \forall x\in R[/TEX]

3) CMR[TEX] \forall n\in N*[/TEX], ta có [TEX]nC_n^o-(n-1)C_n^1+...+(-1)^{n-2}2C_n^{n-2}+(-1)^{n-1}C_n^{n-1}=0[/TEX]

4) Trong mp Oxy cho [TEX]A(2;1)[/TEX]. Lấy [TEX]B(x;0)[/TEX] sao cho [TEX]x \geq 0[/TEX] và C(0;y);[TEX]y\geq0[/TEX] sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm B,C sao cho dt tam giác ABC đạt max, min.

5) Cho a,b,c>0 CMR: [TEX]\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+\sqr{\frac{c^3}{a^3}} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}[/TEX]

 

[giangln.thanglong11a6]

Bài 1:

Do [TEX](\frac{\sqrt{x+3}}{2})^2+(\frac{\sqrt{1-x}}{2})^2=1[/TEX] nên đặt [TEX]\sqrt{x+3}=2sina ; \sqrt{1-x}=2cosa [/TEX]

PT [TEX]\Leftrightarrow 2(4m-3)sina+2(3m-4)cosa+m-1=0[/TEX].

Đk để PT trên có nghiệm là [TEX](m-1)^2 \leq 4(4m-3)^2+4(3m-4)^2[/TEX]. Đến đây bạn tự giải tiếp.

Bài 2: Ta có các BĐT quen thuộc:

[TEX]e^x \geq x+1 [/TEX] và[TEX]cosx \geq 1-\frac{x^2}{2}[/TEX]

CM các BĐT này bằng phương pháp hàm số.

Cộng 2 BĐT trên ta thu đpcm.

Bài 4: Đặt [TEX]\sqrt{\frac{a}{b}}=x[/TEX], [TEX]\sqrt{\frac{b}{c}}=y[/TEX], [TEX]\sqrt{\frac{c}{a}}=z[/TEX].

Ta có [TEX]x, y, z>0[/TEX] và [TEX]xyz=1[/TEX].
BĐT cần CM [TEX]\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3 \geq x^2+y^2+z^2[/TEX]

Áp dụng BĐT Cauchy [TEX]x^2+y^2+z^2 \geq 3\sqrt[3]{x^2.y^2.z^2}=3[/TEX]

Theo BĐT Holder [TEX]3(x^3+y^3+z^3 )^2 \geq (x^2+y^2+z^2)^3 \geq 3(x^2+y^2+z^2)^2[/TEX] suy ra đpcm.

 

[nguyenminh44]

3) CMR[TEX] \forall n\in N*[/TEX], ta có [TEX]nC_n^o-(n-1)C_n^1+...+(-1)^{n-2}2C_n^{n-2}+(-1)^{n-1}C_n^{n-1}=0[/TEX]

Xét hàm [TEX]f(x)=(x-1)^n [/TEX] có [TEX]f'(x)=n(x-1)^{n-1}[/TEX]

Mặt khác [TEX]f(x)=C^0_nx^n-C^1_nx^{n-1}+....+(-1)^{n-2}C^{n-2}_nx^2+(-1)^{n-1}C^{n-1}_nx+(-1)^nC^n_n[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f'(x)=nC^0_nx^{n-1}-(n-1)C^1_nx^{n-2}+....+(-1)^{n-2}.2C^{n-2}_nx+(-1)^{n-1}C^{n-1}_n[/TEX]

Thay x=1 vào hai biểu thức đạo hàm ta có điều phải chứng minh

 

[ctsp_a1k40sp]

Bài 4: Đặt [TEX]\sqrt{\frac{a}{b}}=x[/TEX], [TEX]\sqrt{\frac{b}{c}}=y[/TEX], [TEX]\sqrt{\frac{c}{a}}=z[/TEX].

Ta có [TEX]x, y, z>0[/TEX] và [TEX]xyz=1[/TEX].
BĐT cần CM [TEX]\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3 \geq x^2+y^2+z^2[/TEX]

Cố gắng ko dùng Holder
ta có [TEX]2x^3+1 \geq 3x^2[/TEX] nên [TEX]2\sum x^3+3 \geq 3 \sum x^2[/TEX]
mà [TEX]\sum x^2 \geq 3[/TEX] nên[TEX] \sum x^3 \geq \sum x^2[/TEX]

Áp dụng BĐT Cauchy [TEX]x^2+y^2+z^2 \geq 3\sqrt[3]{x^2.y^2.z^2}=3[/TEX]

Theo BĐT Holder [TEX]3(x^3+y^3+z^3 )^2 \geq (x^2+y^2+z^2)^3 \geq 3(x^2+y^2+z^2)^2[/TEX] suy ra đpcm.