Bài 1: ( BĐT )
a) Áp dụng BĐT Cô-si: [tex]a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}=3[/tex]
Ta có BĐT luôn đúng: [tex](a-1)^2(a+2) \geq 0[/tex] <=> [tex]a^3-3a+2 \geq 0[/tex] <=> [tex]a^3 \geq 3a-2[/tex]
Chứng minh tương tự, cộng vế ta được:
[tex]a^3+b^3+c^3 \geq 3(a+b+c)-6= 3(a+b+c)-2.3 \geq 3(a+b+c)-2(a+b+c)=a+b+c[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]
b) [tex]VT=3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\geq 3+6\sqrt[6]{\frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}}=3+6=9[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]
c) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
[tex]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\geq \frac{4}{p-a+q-b}=\frac{4}{a+b+c-a-b}=\frac{4}{c}[/tex]
Chứng minh tương tự: [TEX]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}\geq \frac{4}{b}, \frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-b}\geq \frac{4}{a}[/TEX]
Cộng theo vế: [tex]2(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-x})\geq 2(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c})[/tex] <=> đpcm
Dấu "=" khi tam giác ABC đều.
d) Ta có: [tex](\sqrt{b-1}-1)^2 \geq 0[/tex] <=> [tex]\sqrt{b-1}\leq \frac{b}{2}\Leftrightarrow a\sqrt{b-1}\leq \frac{ab}{2}[/tex]
Tương tự: [TEX]b\sqrt{a-1}\leq \frac{ab}{2}[/TEX]
Cộng theo vế: [tex]a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=b=2[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
