Cho 3 số a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức
Đặt [tex]\left ( \frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c} \right )=B[/tex]
Khải triển thành [tex]Q=B.\frac{a}{b-c}+B.\frac{b}{c-a}+ B.\frac{c}{a-b}[/tex]
+, Xét [tex]B.\frac{c}{a-b}=\frac{a-b}{c}.\frac{c}{a-b}+\frac{b-c}{a}.\frac{c}{a-b}+\frac{c-a}{b}.\frac{c}{a-b}[/tex]
Nhân ra một hồi sẽ được [tex]=1+\frac{b^2x-bc^2+ac^2-a^2c}{ab(a-b)}\\=1+\frac{(ac^2-bc^2)-(a^2c-b^2c)}{ab(a-b)}\\=1+\frac{c^2(a-b)-c(a^2-b^2)}{ab(a-b)}\\=1+\frac{c^2(a-b)-c(a-b)(a+b)}{ab(a-b)}\\=1+\frac{c(a-b)[c-(a+b)]}{ab(a-b)}\\=1+\frac{c(c+c)}{ab}[/tex]
(do $a+b+c=0$ nên $-(a+b)=c$)
[tex]=1+\frac{2c^2}{ab}=1+\frac{2c^3}{abc}[/tex]
+, Tương tự ta có: [tex]B.\frac{a}{b-c}=1+\frac{2a^3}{abc};B.\frac{b}{c-a}=1+\frac{2b^3}{abc}[/tex]
Do đó [tex]A=3+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}[/tex](*)
Ta lại có: [tex]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)[/tex]
mà $a+b+c=0$ nên [tex]a^3+b^3+c^3-3abc=0\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc[/tex]
Thay $a^3+b^3+c^3=3abc$ vào (*) ta được:
[tex]A=3+\frac{2.3abc}{abc}=3+6=9[/tex]
Vậy..................
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
\left%20(%20\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}%20\right%20))
