[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
an-nyeong, xin chào mọi người nhé, hôm nay chúng ta cùng nhau ôn tập lại một chút kiến thức về phần tổ hợp xác suất để thi cuối kì thật tốt nhé 
TỔ HỢP XÁC SUẤT
Đầu tiên, nếu các bạn cần xem lại kiến thức thì vào đây nhé
I. Các dấu hiệu để phân biệt Hoán vị, Tổ hợp, Chỉnh hợp
1. Hoán vị: $(n!)$
Tất cả các phần tử đều phải có mặt
Mỗi phần tử xuất hiện 1 lần
2. Chỉnh hợp: $A^k_n=\dfrac{n!}{k!}$
Cần chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
$k$ phần tử được sắp xếp có thứ tự
3. Tổ hợp: $C^k_n=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$
Cần chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
Không quan tâm đến thứ tự của $k$ phần tử đã chọn
II. Một số bài toán thường gặp
Câu 1: Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chọn từ lập $A=\{1;2;3;4;5\}$ sao cho mỗi số lập được luôn có mặt chữ số $3$.
Chọn thêm 2 số khác số $3$ có $C_4^2$ cách
Sắp xếp chỗ cho 3 chữ số để tạo thành số tự nhiên có $3!$ cách
Vậy số cách xếp thỏa ycbt là $3!.C_4^2=36 $ cách
Câu 2: Từ các chữ số $0,1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau, sao cho chữ số $2$ và $4$ đứng cạnh nhau.
Ghép $2$ và $4$ lại thành 1 số có 2 cách
Xếp 5 chữ số có $5!$ cách (kể cả số $0$ đứng đầu)
Trường hợp số $0$ đứng đầu có $4!$ cách
Vậy có $2.(5!-4!)=192$ cách
Câu 3: Xếp $6$ người vào một ghế dài, trong đó có $A$ và $B$. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho $A$ và $B$ không ngồi cạnh nhau. (Bài này sử dụng cách đếm phần bù)
Số cách xếp cho $6$ người ngồi vào một ghế dài có $6!$ cách
Ghép $A$ và $B$ thành 1 người có 2 cách
Số cách xếp $5$ người ngồi vào một ghế dài có $5!$ cách
Vậy số cách xếp cho $6$ người trong đó $A,B$ ngồi cạnh nhau có $2.5!$ cách
Vậy số cách xếp sao cho $A$ và $B$ không ngồi cạnh nhau là: $6!$
Câu 4: Có bao nhiêu số có $7$ chữ số, biết rằng chữ số $2$ có mặt hai lần, chữ số $3 $ có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt ít nhất $1$ lần
TH1: Chữ số $0$ có thể đứng đầu
Ta xếp hai chữ số $2$ và $7$ chỗ có $C_7^2$ cách
Ta xếp ba chữ số $3$ vào ba trong năm chỗ còn lại có $C_5^3$
Chọn và xếp hai số bất kì ngoài số $2$ và $3 $ có $A_8^2$
TH2: Chữ số $0$ đứng đầu
Ta xếp hai chữ số $2$ và $6$ chỗ còn lại có $C_6^2$ cách
Ta xếp ba chữ số $3$ vào ba trong bốn chỗ còn lại có $C_4^3$
Chọn thêm một số cho vị trí còn lại có $7$ cách
Vậy số cách thỏa ycbt là $C_7^2.C_5^3.A_8^2-C_6^2.C_4^3.7=11340$ cách
Câu 5: $C_n^{n-3}=1140$. Tính $A=\dfrac{A_n^6+A_n^5}{A_n^4}$
$C_n^{n-3}=1140\Leftrightarrow \dfrac{n!}{(n-3)!3!}=1140$
$\Leftrightarrow n(n-1)(n-2)=6840\Rightarrow n=20$
Khi đó, $A=\dfrac{A_n^6+A_n^5}{A_n^4}=\dfrac{A_{20}^6+A_{20}^5}{A_{20}^4}=256$
III.Luyện tập
Câu 1: Một cửa hàng có 3 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền cần xếp vào giá. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho đầu hàng và cuối hàng cùng một loại?
Câu 2: Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số $\overline{abcde}$ sao cho $a<b<c<d<e$.
Câu 3: Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số $\overline{abcd}$ sao cho $a\le b\le c\le d$.
Câu 4: Có 6 nhà khoa học Toán (4 nam, 2 nữ) và 5 nhà khoa học Vật Lí (toàn nam). Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 nhà khoa học trong đó có cả nam, nữ, cả Toán, Vật Lí?
IV. Bài toán chia kẹo Euler
1. Bài toán gốc
Có $n, (n\le 1)$ chiếc kẹo chia $k$ em nhỏ $(1\le k\le n)$. Hỏi có bao nhiêu cách chia kẹo sao cho không có em nhỏ nào không có kẹo.
Nếu $k=1$ thì chỉ có 1 cách chia kẹo
Nếu $k\ge 2$, ta trải $n$ chiếc kẹo thành 1 hàng ngang. Tiếp theo ta dùng $k-1$ cái thước đặt vào $n-1$ khe giữa cách viên kẹo để chia nó thành $k$ phần. Như vậy có tất cả $C_{n-1}^{k-1}$ cách.
Ta thấy với $k=1$ thỏa $C_{n-1}^{k-1}$
Vậy có $C_{n-1}^{k-1}$ cách chia thảo yêu cầu bài toán.
2. Các bài toán phát triển
Câu 1: Có $12$ chiếc kẹo chia $5$ em nhỏ . Hỏi có bao nhiêu cách chia kẹo cho các em nhỏ.
Ban đầu ta chia $5$ chiếc kẹo cho $5$ em nhỏ mỗi người 1 kẹo. Khi đó bài toán này trở thành bài toán gốc ban đầu là "có $17$ chiếc kẹo chia $5$ em nhỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chia kẹo sao cho không có em nhỏ nào không có kẹo. "
Số cách chia là $C_{17}^5$. Sau khi chia ta rút lại $5$ kẹo bạn đầu thì có cách chia thỏa ycbt
Vậy số cách chia kẹo là $C_{17}^5$.
Câu 2: Tìm số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình:
$\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x+4\le10\\x_1\le 3\end{cases}$
Ta lần lượt cho $x_1$ nhận các giá trị là $0,1,2,3$ và áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta có số nghiệm nguyên của bất phương trình là $$C_{13}^3+C_{12}^3+C_{11}^3+C_{10}^3=791$$
3. Luyện tập
Câu 1: Tìm số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình $x_1+x_2+x_3+x_4\le 11$
Câu 2: Cho các số tự nhiên $n,\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m$. Tìm các số nghiệm nguyên của phương trình $x_1+x_2+...+x_m=n$ thỏa mãn $x_i\ge \lambda_i, \forall \: i=\overline{1,m}$
Mọi người cùng thảo luận và trao đổi các bài toán được đưa ra và phần luyện tập nhéCùng nhau làm chủ phần kiến thức này nào
Tổng hợp topic ôn thi học kì
Last edited by a moderator: