Ôn luyện thi HSG 9

[toantoan2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy M tuỳ ý trên AC. Kẻ Ax vuông góc BM. Gọi H là giao điểm Ax và BC. K thuộc tia đối HC sao HK= HC. Kẻ Ky vuông góc với BM. Gọi I là giao điểm Ky và AB. Tính góc AIM

 

[xuanquynh97]

Kéo dài KI cắt AC tại D

Xét tâm giác KCD thì H là trung điểm CK mà $KD//HA$

Do đó A là trung điểm CD

\Rightarrow $AC=CD=AB$

\Rightarrow Tam giác BCD vuông cân tại B

\Rightarrow $BA \bot MD$ $DI \bot MB$

\Rightarrow I là trực tâm tam giác BMD \Rightarrow $MI \bot BD$

\Rightarrow $MI//BC$ $\angle{AIM}=45^o$

 

[su10112000a]

cách khác:
trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $L$ sao cho $AM=AL$
dễ dàng c/m $\Delta ABM = \Delta ACL$ (c.g.c)
$\Longrightarrow \widehat{ABM} =\widehat{ACL}$
mà $\widehat{ACL} + \widehat{ALC} = 90^0$
nên: $\widehat{ABM} + \widehat{ALC} = 90^0 \rightarrow BM \bot LC$
$\Longrightarrow IK//AH//LC$
$\Longrightarrow$ hình thang $IKCL$ có $AH$ song song với $2$ cạnh đáy
mà $H$ là trung điểm $KC$
nên $A$ là trung điểm $IL$ (áp dụng đường trung bình)
$\Longrightarrow IA=AL=AM$
$\Longrightarrow \Delta IAM$ vuông cân tại $A$
$\Longrightarrow \mathfrak{dpcm}$