Những hằng đẳng thức đáng nhớ

[cumicute1997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho biết 2.(a² + b²) = ( a² - b²)
Chứng minh rằng a và b là hai số đối nhau
2. Cho a,b,x,y là những số khác 0. Biết rằng (a² + b²).(x²+y²) = (ax + bx)² hãy tìm hệ thức giữa bốn số a,b,x,y

 

[thewildtran8a6]

ta có:2(a^2+b^2)=(a^2+b^2)
\Rightarrow 2a^2+2b^2=a^2+b^2
\Leftrightarrow 2a^2-a^2=b^2-2b^2
\Leftrightarrow a^2=-b^2\Rightarrow a và b là hai số đối nhau

 

[thantai2015]

2. Cho a,b,x,y là những số khác 0. Biết rằng (a² + b²).(x²+y²) = (ax + bx)² hãy tìm hệ thức giữa bốn số a,b,x,y

Đây là bđt Bunhiacopsky cho 2 số thực:
[laTEX](ax+by)^2 \leq (a^2+b^2)(x^2+y^2)[/laTEX]
Điều kiện để dấu bằng xảy ra là: [laTEX]ay=bx[/laTEX]
Còn về chứng minh điều này thì bạn có thể tìm trên mạng cách chứng minh bđt Bunhiacopsky cho 2 số thực

 

[huy14112]

1.

$2(a^2+b^2)=(a-b)^2$

$2a^2+2b^2=a^2+b^2-2ab$

$2a^2+2b^2-a^2-b^2+2ab=0$

$a^2+2ab+b^2=0$

$(a+b)^2=0$

$a+b=0$

$a=-b$

 

[popstar1102]

2) cái này được suy ra từ bdt bunhiacopxiki
$(a^2+b^2)(x^2+y^2)$\geq $(ax+by)^2$
dấu ''='' xảy ra \Leftrightarrow$\frac{a}{x}$=$\frac{b}{y}$

 

[huy14112]

2) cái này được suy ra từ bdt bunhiacopxiki
$(a^2+b^2)(x^2+y^2)$\geq $(ax+by)^2$
dấu ''='' xảy ra \Leftrightarrow$\frac{a}{x}$=$\frac{b}{y}$

Bạn không thể chứng miinh thế này được

Đề này có thể được coi là chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đó.

Nên mình sẽ CM như sau :

$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2$

$(ax)^2+(ay)^2+(bx)^2+(by)^2=(ax)^2+2axby+(by)^2$

$(ay)^2-2axby+(bx)^2=0$

$(ay-bx)^2=0$

$ay-bx=0$

$ay=bx$

$\longrightarrow \dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y} $