Những bài toán khó 1 điểm cần giải ngay

[nhocdangyeu789]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
Chứng minh rằng nếu [TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1[/TEX] thì [TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0[/TEX].
Bài 2:
Cho a;b>1. Tìm GTNN của biểu thức [TEX]P=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}[/TEX].
Bài 3:
Cho tam giác ABC có 3 cạnh với độ dài là a,b,c thỏa mãn điều kiện [TEX]a^3+b^3+c^3=3abc[/TEX]. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
Bài 4:
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và ha;hb;hc là độ dài 3 chiều cao tương ứng. Tìm tính chất của tam giác ABC khi biểu thức S=[TEX]\frac{ha^2+hb^2+hc^2}{(a+b+c)^2}[/TEX] đạt GTLN.
Bài 5:
CHo x>0, y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức: A=[TEX](x+\frac{1}{y})^2+(y+\frac{1}{x})^2[/TEX]
Bài 6:
a, Cho x,y>0 và x+y[TEX]\leq[/TEX]1. CMR: [TEX]\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq 4[/TEX]
b, Tìm GTNN của biểu thức P=[TEX]\frac{2}{2+\sqrt[]{2x-x^2+7}}[/TEX]
Bài 7:
Cho a,b,c,d là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=1. CMR [TEX]\sqrt[]{4a+1}+\sqrt[]{4b+1}+\sqrt[]{4c+1}+\sqrt[]{4d+1} \leq 4\sqrt[]{2}[/TEX]
Bài 8:
a,Cho x+y+z=2005. Tính giá trị của biểu thức M=[TEX]\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}[/TEX]
b, Tìm GTNN của biểu thức F=[TEX]3x+\frac{2}{x+2}[/TEX] với x>-2.

 

[thanhhien_pretty]

hi

Mình giải 2 bài cuối vậy:
7.
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki , ta có:
[TEX](\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1})^2[/TEX] \leq [TEX](1^2+1^2+1^2+1^2)(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)[/TEX]=4*(4+4) [ vì a+b+c+d=1)
=32
=> Đpcm
8. a) [TEX]x^3+y^3+z^3-3xyz= \frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2[/TEX] ( phân tích đa thức thành nhân tử )
=> M= [TEX]\frac{1}{2}(x+y+z)[/TEX]=[TEX]\frac{1}{2}.2005=1002,5[/TEX]
b)
F=[TEX]3x+6+\frac{2}{x+2}-6= 3(x+2)+\frac{2}{x+2}-6[/TEX] \geq 2[TEX]\sqrt{3(x+2).\frac{2}{x+2} [/TEX]-6 = 2[TEX]\sqrt{6} [/TEX]-6 ( Áp dụng BĐT cô si )
=>> GTNN= <=> x=... Bản giải ra nhé

 

[thienvamai]

3/ cô si 3 số ta thấy VT >= VP
đtxr khi a=b=c => tam giác đều

 

[conga222222]

Bài 1:
Chứng minh rằng nếu [TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1[/TEX] thì [TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0[/TEX].
Bài 2:
Cho a;b>1. Tìm GTNN của biểu thức [TEX]P=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}[/TEX].
Bài 3:
Cho tam giác ABC có 3 cạnh với độ dài là a,b,c thỏa mãn điều kiện [TEX]a^3+b^3+c^3=3abc[/TEX]. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
Bài 4:
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và ha;hb;hc là độ dài 3 chiều cao tương ứng. Tìm tính chất của tam giác ABC khi biểu thức S=[TEX]\frac{ha^2+hb^2+hc^2}{(a+b+c)^2}[/TEX] đạt GTLN.
Bài 5:
CHo x>0, y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức: A=[TEX](x+\frac{1}{y})^2+(y+\frac{1}{x})^2[/TEX]
Bài 6:
a, Cho x,y>0 và x+y[TEX]\leq[/TEX]1. CMR: [TEX]\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq 4[/TEX]
b, Tìm GTNN của biểu thức P=[TEX]\frac{2}{2+\sqrt[]{2x-x^2+7}}[/TEX]
Bài 7:
Cho a,b,c,d là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=1. CMR [TEX]\sqrt[]{4a+1}+\sqrt[]{4b+1}+\sqrt[]{4c+1}+\sqrt[]{4d+1} \leq 4\sqrt[]{2}[/TEX]
Bài 8:
a,Cho x+y+z=2005. Tính giá trị của biểu thức M=[TEX]\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}[/TEX]
b, Tìm GTNN của biểu thức F=[TEX]3x+\frac{2}{x+2}[/TEX] với x>-2.

câu 2:
do a, b >1
-->a^2, b^2 >1

\[\begin{array}{l}
P = \frac{{{a^2} - 1}}{{b - 1}} + \frac{{{b^2} - 1}}{{a - 1}} + \frac{1}{{b - 1}} + \frac{1}{{a - 1}}\\
co.si \to P \ge 2\sqrt {\frac{{\left( {{a^2} - 1} \right)\left( {{b^2} - 1} \right)}}{{\left( {b - 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}} + \frac{1}{{b - 1}} + \frac{1}{{a - 1}} = 2\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} + \frac{1}{{a - 1}} + \frac{1}{{b - 1}}\\
bunhiacopski: \to \left( {\frac{1}{{a - 1}} + 1 + 1} \right)\left( {\left( {a - 1} \right) + 1 + 1} \right) \ge {\left( {1 + 1 + 1} \right)^2} = 9 \to \frac{1}{{a - 1}} \ge \frac{9}{{a + 1}} - 2\\
tuong.tu \to \frac{1}{{b - 1}} \ge \frac{9}{{b + 1}} - 2\\
\to P \ge 2\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} + \frac{9}{{a + 1}} + \frac{9}{{a + 1}} - 4\\
co.si: \to \sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} + \sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} + \frac{9}{{a + 1}} + \frac{9}{{a + 1}} \ge 4\sqrt[4]{{{9^2}}} = 8\\
dau = \leftrightarrow a = b = 2
\end{array}\]

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzzz

Bài 1:
Chứng minh rằng nếu [TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1[/TEX] thì [TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0[/TEX].
Bài 2:
Cho a;b>1. Tìm GTNN của biểu thức [TEX]P=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}[/TEX].
Bài 3:
Cho tam giác ABC có 3 cạnh với độ dài là a,b,c thỏa mãn điều kiện [TEX]a^3+b^3+c^3=3abc[/TEX]. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
Bài 4:
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và ha;hb;hc là độ dài 3 chiều cao tương ứng. Tìm tính chất của tam giác ABC khi biểu thức S=[TEX]\frac{ha^2+hb^2+hc^2}{(a+b+c)^2}[/TEX] đạt GTLN.
Bài 5:
CHo x>0, y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức: A=[TEX](x+\frac{1}{y})^2+(y+\frac{1}{x})^2[/TEX]
Bài 6:
a, Cho x,y>0 và x+y[TEX]\leq[/TEX]1. CMR: [TEX]\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq 4[/TEX]

b, Tìm GTNN của biểu thức P=[TEX]\frac{2}{2+\sqrt[]{2x-x^2+7}}[/TEX]
Bài 7:
Cho a,b,c,d là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=1. CMR [TEX]\sqrt[]{4a+1}+\sqrt[]{4b+1}+\sqrt[]{4c+1}+\sqrt[]{4d+1} \leq 4\sqrt[]{2}[/TEX]
Bài 8:
a,Cho x+y+z=2005. Tính giá trị của biểu thức M=[TEX]\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}[/TEX]
b, Tìm GTNN của biểu thức F=[TEX]3x+\frac{2}{x+2}[/TEX] với x>-2.

bài 1:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$
\Leftrightarrow $(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})(a+b+c)= a+b+c$
\Leftrightarrow $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+a+b+c=a+b+c$
\Leftrightarrow $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0$

Bài 5:
có BĐT: $a^2+b^2 \ge \frac{(a+b)^2}{2}$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}$ (vì 2 BĐT này đều tương đương $(a-b)^2 \ge 0$ )
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b$
áp dụng $2$ BĐT này ta có:
$A=(x+\frac{1}{y})^2+(y+\frac{1}{x})^2 \ge \frac{(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2}{2} \ge \frac{(x+y+\frac{4}{x+y})^2}{2} = \frac{25}{2}$
\Rightarrow $A_{min}=\frac{25}{2}$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Bài 6:
Áp dụng BĐT:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}$
\Rightarrow $\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy} \ge \frac{4}{x^2+xy+y^2+xy} = \frac{4}{(x+y)^2} \ge 4$ (vì $x+y \le 1$ )
Dấu $"="$ xảy ra \Leftrightarrow $x=y=\frac{1}{2}$