Nhị thức Niuton

V

vxl96tb

Last edited by a moderator:
N

noinhobinhyen

Trước hết ta chứng mình rằng $(C_n^0)^2+(C_n^1)^2+...+(C_n^n)^2 = C_{2n}^n$

thật vậy ta xét khai triển $(1+x)^{2n}$

Hệ số của $x^n$ trong khai triển trên là $C_{2n}^n$

Mặt khác $(1+x)^{2n} = (1+x)^n.(1+x)^n = \sum.\sum C_n^i.C_n^j.x^{i+j}$

Do vậy hệ số của $x^n$ là $\sum.\sum C_n^i.C_n^j.x^{i+j}$ thoả mãn i+j=n

suy ra hệ số đó là $C_n^0.C_n^n+C_n^1.C_n^{n-1}+...+C_n^n.C_n^0 = (C_n^0)^2+(C_n^1)^2+...+(C_n^n)^2 $

Vậy ta có $(C_n^0)^2+(C_n^1)^2+...+(C_n^n)^2 = C_{2n}^n$ (bởi vì đều là hệ số của $x^n$ trong khai triển đã xét)

Ta có

$S=0.(C_n^0)^2+1.(C_n^1)^2+2.(C_n^2)^2+...+n.(C_n^n)^2$

$\Leftrightarrow S = 0.(C_n^n)^2+1.(C_n^{n-1})^2+2.(C_n^{n-2})^2+...+n.(C_n^0)^2$



$\Rightarrow 2S= n.[(C_n^0)^2+(C_n^1)^2+...+(C_n^n)^2] = n.C_{2n}^n$

$\Rightarrow S=\dfrac{n}{2}.C_{2n}^n$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom