Xét: [tex](1-x)^n=1-C^1_nx+C^2_nx^2-...+(-x)^nC^n_n[/tex]
Chọn $x=1$ có: [tex]1-C^1_n+C^2_n-...+(-1)^nC^n_n(1)[/tex]
Vẫn là từ [tex](1-x)^n=1-C^1_nx+C^2_nx^2-...+(-x)^nC^n_n[/tex]
Đạo hàm 2 vế được:
[tex]-n(1-x)^{n-1}=-C^1_n+2C^2_nx-...+n(-x)^{n-1}C^n_n[/tex]
Chọn tiếp $x=1$ có: [tex]-n(1-x)^{n-1}=-C^1_n+2C^2_nx-...+n(-x)^{n-1}C^n_n\\-C^1_n+2C^2_n-...+n(-1)^{n-1}C^n_n=0(2)[/tex]
Lấy $(2)-(1)$ được: $-1+1C_{n}^{2}-2C_{n}^{3}+ 3C_{n}^{4}-...+ (-1)^{n}(n-1)C_{n}^{n}=0 \\ \iff 1C_{n}^{2}-2C_{n}^{3}+ 3C_{n}^{4}-...+ (-1)^{n}(n-1)C_{n}^{n}=1\\\iff S=1$