Toán 11 Nhị thức Niu-ton

[hiennhitruong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tính: [tex]S=1C_{n}^{2}-2C_{n}^{3}+ 3C_{n}^{4}-...+ (-1)^{n}(n-1)C_{n}^{n}[/tex] với [tex]n \epsilon \mathbb{N}^{*}, n> 2[/tex]

 

[Kaito Kidㅤ]

Xét: [tex](1-x)^n=1-C^1_nx+C^2_nx^2-...+(-x)^nC^n_n[/tex]
Chọn $x=1$ có: [tex]1-C^1_n+C^2_n-...+(-1)^nC^n_n(1)[/tex]
Vẫn là từ [tex](1-x)^n=1-C^1_nx+C^2_nx^2-...+(-x)^nC^n_n[/tex]
Đạo hàm 2 vế được:
[tex]-n(1-x)^{n-1}=-C^1_n+2C^2_nx-...+n(-x)^{n-1}C^n_n[/tex]
Chọn tiếp $x=1$ có: [tex]-n(1-x)^{n-1}=-C^1_n+2C^2_nx-...+n(-x)^{n-1}C^n_n\\-C^1_n+2C^2_n-...+n(-1)^{n-1}C^n_n=0(2)[/tex]
Lấy $(2)-(1)$ được: $-1+1C_{n}^{2}-2C_{n}^{3}+ 3C_{n}^{4}-...+ (-1)^{n}(n-1)C_{n}^{n}=0 \\ \iff 1C_{n}^{2}-2C_{n}^{3}+ 3C_{n}^{4}-...+ (-1)^{n}(n-1)C_{n}^{n}=1\\\iff S=1$