Toán 11 Nhị thức Newton

[Tgh an an]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giả sử [tex](1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{10})^{11}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{110}x^{110}[/tex] với a0, a1, a2,..., a110 là các hệ số. Giá trị của tổng [tex]T=C_{11}^{0}a_{11}-C_{11}^{1}a_{10}+C_{11}^{2}a_{9}-C_{11}^{3}a_{8}+...+C_{11}^{10}a_{1}-C_{11}^{11}a_{0}[/tex] bằng bn?????
Nhờ mn giải giúp

 

[Kaito Kidㅤ]

Dễ thấy tổng trong ngoặc ở VT là 1 cấp số nhân nên ta nghĩ đến việc nhân thêm vào:
[tex](1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{10})^{11}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{110}x^{110}\\\Leftrightarrow ((x-1).(1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{10)})^{11}=(x-1)^{11}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{110}x^{110})\\\Leftrightarrow (x^{11}-1)^{11}=(x-1)^{11}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{110}x^{110})\\\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{k=0}^{11} C^k_{11}x^{11k}.(-1)^{11-k}=\sum_{i=0}^{11} C^i_{11}x^i.(-1)^{11-i}.(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{110}x^{110})[/tex]
Hệ số của $x^{11}$ ở VT là $C^1_{11}=11$
Hệ số của $x^{11}$ ở VP là $C_{11}^{0}a_{0}-C_{11}^{1}a_{1}+C_{11}^{2}a_{2}-C_{11}^{3}a_{3}+C_{11}^{4}a_{4}+...+C_{11}^{10}a_{10}-C_{11}^{11}a_{11}$
Mà theo đề thì hệ số của $x^{11}$ ở cả 2 vế bằng nhau nên: $C_{11}^{0}a_{11}-C_{11}^{1}a_{10}+C_{11}^{2}a_{9}-C_{11}^{3}a_{8}+...+C_{11}^{10}a_{1}-C_{11}^{11}a_{0}=-11$