Nhị thức Newton nè

[xuka_forever_nobita]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Với n[TEX]\in\[/TEX] N*, gọi[TEX]a_{2n-3}[/TEX] là hệ số của[TEX]x^{3n-3}[/TEX] trong khai triển đa thức của:[TEX](x^2+1)^n.(x-1)^n[/TEX].Tìm n để[TEX]a_{3n-3}=-12n[/TEX]

2) Chứng minh:[TEX]\frac{1}{2}C_n^0-\frac{1}{4}C_n^4+\frac{1}{6}C_n^2 -.......+\frac{(-1)^n.C_n^n}{2(n+1)}=\frac{1}{2(n+1)}[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

2) Chứng minh:[TEX]\frac{1}{2}C_n^0-\frac{1}{4}C_n^1+\frac{1}{6}C_n^2 -.......+\frac{(-1)^n.C_n^n}{2(n+1)}=\frac{1}{2(n+1)}[/TEX]

Xét khai triển:
[TEX](1-x)^n=C^0_n-C^1_nx+C^2_nx^2-...+C^n_n(-1)^nx^n[/TEX]
Lấy tích phân 2 vế với cận 0 và 1 đc:
[TEX]\int_0^1(1-x)^ndx=\int_0^1(C^0_n-C^1_nx+C^2_nx^2-...+C^n_n(-1)^nx^n)dx[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \frac{(1-x)^{n+1}}{n+1}|_0^1=(C^0_nx+\frac{C^1_nx^2}{2}+ \frac{C^2_nx^3}{3}-...+\frac{C^n_n(-1)^nx^{n+1}}{n+1})_0^1 \Leftrightarrow...[/TEX]
Nhân 2 vế tìm đc với [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] ta đc đpcm.

 

[ngomaithuy93]

1) Với n[TEX]\in\[/TEX] N*, gọi[TEX]a_{2n-3}[/TEX] là hệ số của[TEX]x^{3n-3}[/TEX] trong khai triển đa thức của:[TEX](x^2+1)^n.(x-1)^n[/TEX].Tìm n để[TEX]a_{3n-3}=-12n[/TEX]

[TEX](x^2+1)^n= \sum_{k=0}^n C^k_nx^{2(n-k)}[/TEX]

[TEX](x-1)^n=\sum_{m=0}^nC^m_nx^{n-m}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow (x^2+1)^n(x-1)^n=\sum^nC^k_n.C^m_nx^{3n-2k-m}[/TEX]

[TEX]x^{3n-3}[/TEX] tương ứng với [TEX]3n-2k-m=3n-3 \Leftrightarrow 2k+m=3[/TEX]
TH1: k=m=1 \Rightarrow Hệ số tương ứng là [TEX]C^1_n.C^_n=-12n \Leftrightarrow n^2=-12n[/TEX] (k có n thỏa mãn)
TH2: k=0, m=3 \Rightarrow Hệ số tương ứng là [TEX]C^3_n=-12n \Leftrightarrow n=10[/TEX]