nhan dang tam giac

[xuxudonotcry]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

02-01-2010, 12:34
Cau 2 : Cho tam giác ABC thỏa mãn biểu thức :
\frac{( acosA + bcosB + ccosC )}{( a+ b +c )} = \frac{1}{2}(1)
CMR tam giác ABC đều.

(1) \Leftrightarrow a.cosA+bcosB+ccosC=\frac{1}{2}.(a+b+c)
\Leftrightarrow 2(acosA+bcosB+ccosC) =bcosC+ccosB+ccosA+acosC+acosB+bcosA
\Leftrightarrow (acosA+bcosB-acosB-bcosA)
+(bcosB+ccosC-bcosC-ccosB)+(ccosC+acosA-ccosA-acosC)=0
\Leftrightarrow (a-b)(cosA-cosB)+(b-c)(cosB-cosC)+(c-a)(cosC-cosA)=0(2)
Ta cần chứng minh (a-b)(cosA-cosB) \leq 0(*)
Thật vậy, xét trường hợp a=b thì (*) hiển nhiên đúng
với a>b \Rightarrow A>B \Rightarrow cos A<cosB \Rightarrow (a-b)(cosA-cosB)<0
Với a<b \Rightarrow A<B \Rightarrow cosA>cosB \Rightarrow (a-b)(cosA-cosB)<0
\Leftrightarrow (*) đúng , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Chứng minh tương tự, ta cũng có :
\left{\begin{(b-c)(cosB-cosC) <0}\\{(c-a)(cosC- cosA)<0}(3)

(2)& (3) \Rightarrow đẳng thức xảy ra đồng thời \Rightarrow a=b=c \Rightarrow dpcm