Toán 9 Nguyên lí Dirichle trong hình học

[Tungtom]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giúp em với ạ:
Bài 1: Tìm hình vuông cạnh bằng 1 có 2019 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính 1/91 nằm trong hình vuông đó mà không chứa điểm nào trong 2019 điểm đã cho.
Bài 2: Tìm hình vuông có kích thước nhỏ nhất để trong hình vuông có thể sắp xếp được 5 hình tròn có bán kính bằng 1 sao cho không có hai hình tròn bất kì nào trong chúng có điểm chung.
Mấy bài này làm kiểu gì vậy ạ?@_@

 

[7 1 2 5]

1. Chia các cạnh hình vuông thành 45 phần bằng nhau. Ta tạo được [tex]45^2=2025[/tex] hình vuông nhỏ có cạnh là [tex]\frac{1}{45}[/tex]
Theo định lý Dirichlet thì tồn tại 1 hình vuông nhỏ không có điểm nào.
Vì [tex]\frac{1}{45}>\frac{2}{91}[/tex] nên vẽ được 1 hình tròn có bán kính là 1/91 trong hình vuông đó.
Mà hình vuông đó không có điểm nào nên hình tròn đó cũng không chứa điểm nào cả.
2. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD cạnh là a > 2 chứa 5 hình tròn bán kính bằng 1 sao cho không có hai hình tròn nào trong chúng có điểm trong chung. Suy ra tâm của các hình tròn này nằm trong hình vuông MNPQ tâm O cạnh là (a-2) và MN // AB. Các đường trung bình của hình vuông MNPQ chia hình vuông này thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau.Theo nguyên lí Dirichle tồn tại một hình vuông nhỏ chứa ít nhất 2 trong 5 tâm của các hình tròn nói trên, chẳng hạn đó là O1 và O2.Do 5 hình tròn này không có hai hình tròn nào có điểm trong chung nên O1O2≥2 (1)
Mặt khác O1O2 cùng nằm trong một hình vuông nhỏ có cạnh là [tex]\frac{a-2}{2}[/tex] nên [tex]O_1O_2\leq \frac{a-2}{2}.\sqrt{2}[/tex] (2)
Từ (1) và (2) ⇒ [tex]\frac{a-2}{2}.\sqrt{2}\geq 2\Leftrightarrow a\geq 2+2\sqrt{2}[/tex] . Do đó mọi hình vuông có cạnh lớn hơn hoặc bằng [tex]2+2\sqrt{2}[/tex] thỏa mãn yêu cầu bài toán.Vậy hình vuông ABCD có cạnh [tex]2+2\sqrt{2}[/tex] thỏa mãn yêu cầu bài toán.