Cho $I_1$: Ý tưởng là chọn $\alpha,\beta$ sao $7\sin x- 5 \cos x = \alpha (3 \sin x+4 \cos x)+ \beta(3 \cos x - 4 \sin x)$. Khi đó ta có
$$I_1= \alpha \int \frac{1}{3\sin x+4 \cos x} dx +\beta \int \frac{3\cos x-4 \sin x}{(3\sin x+4\cos x)^2}= \alpha \int \frac{1}{3\sin x+4 \cos x}dx - \beta (3\sin x+4\cos x)^{-1}.$$
Đặt $t=\tan (x/2)$ thì $\sin x= \frac{2t}{1+t^2}, \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. Ta có $\frac{dx}{dt}= \frac{d 2 \tan^{-1}t}{dt}=\frac{2}{1+t^2}$. Do đó
$$\begin{align*} \int \frac{1}{3\sin x+4 \cos x} dx & = \int \frac{t^2+1}{6t +4(1-t^2)} \cdot \frac{2}{t^2+1}dt, \\
& = \int \frac{1}{3t+2-2t^2} dt, \\
& = \frac 15 \int \frac{(2t+1)+2(2-t)}{(2-t)(2t+1)} dt, \\
& = \frac{-1}{5} \ln |2-t| + \frac 15 \ln |2t+1|+c, \\
& = \frac 15 \ln \left | \frac{2t+1}{2-t} \right| +c, \\
& = \frac 15 \ln \left | \frac{2\tan (x/2)+1}{2-\tan (x/2)} \right| +c
\end{align*}$$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
