- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Chắc hẳn các bạn vẫn còn nhớ phần tính giới hạn và hàm số liên tục lớp 11 có hàm số được cho bởi 2 hoặc nhiều hơn 2 công thức. Thì trong nguyên hàm tích phân cũng có bài tập về loại hàm này.
Ví dụ 1: (Hàm cho sẵn luôn công thức)
Cho hàm [tex]f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1, x\geq 0\\ e^{2x}, x\leq 0 \end{matrix}\right.[/tex]. Tính I=[tex]\int_{-1}^{2}f(x)dx[/tex]
Lời giải: Đơn giản chỉ cần chia khoảng tương ứng dữ kiện là tính được:
[tex]I=\int_{-1}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{2}f(x)dx=\int_{-1}^{0}e^{2x}dx+\int_{0}^{2}(x+1)dx=\frac{9e^2-1}{e^2}[/tex]
Ví dụ 2: (Dạng hay gặp)
Cho hàm f(x) xác định trên R\{[TEX]\frac{1}{2}[/TEX] thỏa mãn f'(x)={[TEX]\frac{2}{2x-1}[/TEX] , f(0)=1 và f(1)=2. Giá trị của f(-1) và f(3) là?
Lời giải:
Với bài tập thường hay làm thì ta sẽ có : [tex]f(x)=ln|2x-1|+C[/tex]
Rồi sau đó sử dụng dữ kiện f(0)=1 để tìm ra C. Tuy nhiên nếu chỉ có thế vậy sao lại cho cả f(1)=2 làm gì?
Thì lúc này ta mới để ý là hàm số không xác định tai x=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX] . Như vậy từ [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] đổ về phía trái ta có 1 hàm f(x) , từ [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] đổ về phía phải thì có 1 hàm f(x) khác.
Vậy lời giải đúng của bài:
[tex]\left\{\begin{matrix} f(x)=ln|2x-1|+C_1,x< \frac{1}{2}\\ f(x)=ln|2x-1|+C_2,x> \frac{1}{2} \end{matrix}\right.[/tex]
Như vậy với dữ kiện f(0)=1 ta tính được [TEX]C_1=1[/TEX], với f(1)=2 ta tính được [TEX]C_2=2[/TEX]
Vậy f(-1)+f(3)=[tex](ln3+1)+(ln5+2)=ln15+3[/tex]
Ví dụ 3: Cho hàm f(x) xác định trên R\{-2;1} thỏa mãn [tex]f'(x)=\frac{1}{x^2+x-2}[/tex] ; f(-3)-f(3)=0 và f(0)=[TEX]\frac{1}{3}[/TEX]. Giá trị của f(4)+f(-1)-f(4) là?
Lời giải:
Cũng tương tự như bài trên, bài này chỉ khác ở chỗ f(x) cho bởi 3 hàm số trên 3 khoảng tương ứng. Vẫn làm như bình thường.
Ta có : [tex]f'(x)=\frac{1}{3}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2})[/tex]
=>
[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3}(ln|x-1|-ln|x-2|)+C_{1},x< -2\\ \frac{1}{3}(ln|x-1|-ln|x-2|)+C_{2},-2<x< 1\\ \frac{1}{3}(ln|x-1|-ln|x-2|)+C_{3},1<x \end{matrix}\right.[/tex]
Dựa vào giả thiết f(0)=[TEX]\frac{1}{3}[/TEX] thay vào tính được [TEX]C_{2}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{3}+\frac{1}{3}ln3[/TEX]
Dựa vào giả thiết f(-3)-f(3)=0 thay vào ta tính được: [TEX]C_{1}-C_{3}=\frac{1}{3}ln10[/TEX]
Vậy f(-4)+f(-1)-f(4)=[TEX]\frac{1}{3}ln\frac{5}{2}+\frac{1}{3}ln2-\frac{1}{3}ln\frac{1}{2}+C_1-C_3+C_2=\frac{1}{3}ln2 + \frac{1}{3}[/TEX]
Nhìn chung dạng này nếu gặp phải thì không phải là khó, chỉ cần làm một vài lần, lần sau gặp lại là sẽ làm được!
Ví dụ 1: (Hàm cho sẵn luôn công thức)
Cho hàm [tex]f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1, x\geq 0\\ e^{2x}, x\leq 0 \end{matrix}\right.[/tex]. Tính I=[tex]\int_{-1}^{2}f(x)dx[/tex]
Lời giải: Đơn giản chỉ cần chia khoảng tương ứng dữ kiện là tính được:
[tex]I=\int_{-1}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{2}f(x)dx=\int_{-1}^{0}e^{2x}dx+\int_{0}^{2}(x+1)dx=\frac{9e^2-1}{e^2}[/tex]
Ví dụ 2: (Dạng hay gặp)
Cho hàm f(x) xác định trên R\{[TEX]\frac{1}{2}[/TEX] thỏa mãn f'(x)={[TEX]\frac{2}{2x-1}[/TEX] , f(0)=1 và f(1)=2. Giá trị của f(-1) và f(3) là?
Lời giải:
Với bài tập thường hay làm thì ta sẽ có : [tex]f(x)=ln|2x-1|+C[/tex]
Rồi sau đó sử dụng dữ kiện f(0)=1 để tìm ra C. Tuy nhiên nếu chỉ có thế vậy sao lại cho cả f(1)=2 làm gì?
Thì lúc này ta mới để ý là hàm số không xác định tai x=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX] . Như vậy từ [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] đổ về phía trái ta có 1 hàm f(x) , từ [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] đổ về phía phải thì có 1 hàm f(x) khác.
Vậy lời giải đúng của bài:
[tex]\left\{\begin{matrix} f(x)=ln|2x-1|+C_1,x< \frac{1}{2}\\ f(x)=ln|2x-1|+C_2,x> \frac{1}{2} \end{matrix}\right.[/tex]
Như vậy với dữ kiện f(0)=1 ta tính được [TEX]C_1=1[/TEX], với f(1)=2 ta tính được [TEX]C_2=2[/TEX]
Vậy f(-1)+f(3)=[tex](ln3+1)+(ln5+2)=ln15+3[/tex]
Ví dụ 3: Cho hàm f(x) xác định trên R\{-2;1} thỏa mãn [tex]f'(x)=\frac{1}{x^2+x-2}[/tex] ; f(-3)-f(3)=0 và f(0)=[TEX]\frac{1}{3}[/TEX]. Giá trị của f(4)+f(-1)-f(4) là?
Lời giải:
Cũng tương tự như bài trên, bài này chỉ khác ở chỗ f(x) cho bởi 3 hàm số trên 3 khoảng tương ứng. Vẫn làm như bình thường.
Ta có : [tex]f'(x)=\frac{1}{3}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2})[/tex]
=>
[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3}(ln|x-1|-ln|x-2|)+C_{1},x< -2\\ \frac{1}{3}(ln|x-1|-ln|x-2|)+C_{2},-2<x< 1\\ \frac{1}{3}(ln|x-1|-ln|x-2|)+C_{3},1<x \end{matrix}\right.[/tex]
Dựa vào giả thiết f(0)=[TEX]\frac{1}{3}[/TEX] thay vào tính được [TEX]C_{2}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{3}+\frac{1}{3}ln3[/TEX]
Dựa vào giả thiết f(-3)-f(3)=0 thay vào ta tính được: [TEX]C_{1}-C_{3}=\frac{1}{3}ln10[/TEX]
Vậy f(-4)+f(-1)-f(4)=[TEX]\frac{1}{3}ln\frac{5}{2}+\frac{1}{3}ln2-\frac{1}{3}ln\frac{1}{2}+C_1-C_3+C_2=\frac{1}{3}ln2 + \frac{1}{3}[/TEX]
Nhìn chung dạng này nếu gặp phải thì không phải là khó, chỉ cần làm một vài lần, lần sau gặp lại là sẽ làm được!
