E
eternal_fire
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Có 1 tài liệu khá đầy đủ của Tác giả:Trần Sĩ Tùng
http://www.echip.com.vn/echiproot/Softwares/2007/tichphan.pdf
Bên cạnh đó là 2 dạng quen thuộc trong các bài tích phân thi đại học các năm trước đây
Thứ nhất là bài toán
[TEX]\int_{-a}^{a}\frac{f(t)dt}{a^t+1}=\int_{0}^{a}f(t)dt[/TEX] trong đó [TEX]f(t)[/TEX] là hàm chẵn
Chứng minh:
[TEX]\int_{-a}^{a}\frac{f(t)dt}{a^t+1}=\int_{-a}^{0}\frac{f(t)dt}{a^t+1}+\int_{0}^{a}\frac{f(t)dt}{a^t+1}[/TEX]
Ta xét [TEX]\int_{-a}^{0}\frac{f(t)dt}{a^t+1}[/TEX]
Đặt [TEX]t=-u \to dt=-du [/TEX]
[TEX]\to \int_{-a}^{0}\frac{f(t)dt}{a^t+1}=\int_{a}^{0}\frac{-f(-u)du}{a^{-u}+1}[/TEX]
[TEX]=-\int_{a}^{0}\frac{f(u).a^udu}{1+a^u}[/TEX](Do f là hàm chẵn)
[TEX]=\int_{0}^{a}\frac{f(u).a^udu}{a^u+1}=\int_{0}^{a}\frac{f(x).a^xdx}{a^x+1} [/TEX]
Suy ra [TEX]\int_{-a}^{a}\frac{f(t)dt}{a^t+1}=\int_{0}^{a}\frac{(a^x+1)f(x)dx}{a^x+1}[/TEX]
[TEX]=\int_{0}^{a}f(x)dx[/TEX]
Bài toán thứ 2 đó là
[TEX]\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{{\pi}}f(sinx)dx[/TEX]
Ta đổi biến [TEX]x=\pi-t \to dx=-dt[/TEX]
[TEX]\to \int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\int_{\pi}^{0}-(\pi-t).f[sin(\pi-t)]dt[/TEX]
[TEX]=-\int_{\pi}^{0}{\pi} f(sint)dt+\int_{\pi}^{0}tf(sint)dt[/TEX]
[TEX]=\int_{0}^{\pi}{\pi}f(sint)dt-\int_{0}^{\pi}t.f(sint)dt[/TEX]
[TEX]=\int_{0}^{\pi}{\pi}f(sinx)dx-\int_{0}^{\pi}x.f(sinx)dx[/TEX]
Suy ra [TEX]\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{{\pi}}f(sinx)dx[/TEX]
http://www.echip.com.vn/echiproot/Softwares/2007/tichphan.pdf
Bên cạnh đó là 2 dạng quen thuộc trong các bài tích phân thi đại học các năm trước đây
Thứ nhất là bài toán
[TEX]\int_{-a}^{a}\frac{f(t)dt}{a^t+1}=\int_{0}^{a}f(t)dt[/TEX] trong đó [TEX]f(t)[/TEX] là hàm chẵn
Chứng minh:
[TEX]\int_{-a}^{a}\frac{f(t)dt}{a^t+1}=\int_{-a}^{0}\frac{f(t)dt}{a^t+1}+\int_{0}^{a}\frac{f(t)dt}{a^t+1}[/TEX]
Ta xét [TEX]\int_{-a}^{0}\frac{f(t)dt}{a^t+1}[/TEX]
Đặt [TEX]t=-u \to dt=-du [/TEX]
[TEX]\to \int_{-a}^{0}\frac{f(t)dt}{a^t+1}=\int_{a}^{0}\frac{-f(-u)du}{a^{-u}+1}[/TEX]
[TEX]=-\int_{a}^{0}\frac{f(u).a^udu}{1+a^u}[/TEX](Do f là hàm chẵn)
[TEX]=\int_{0}^{a}\frac{f(u).a^udu}{a^u+1}=\int_{0}^{a}\frac{f(x).a^xdx}{a^x+1} [/TEX]
Suy ra [TEX]\int_{-a}^{a}\frac{f(t)dt}{a^t+1}=\int_{0}^{a}\frac{(a^x+1)f(x)dx}{a^x+1}[/TEX]
[TEX]=\int_{0}^{a}f(x)dx[/TEX]
Bài toán thứ 2 đó là
[TEX]\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{{\pi}}f(sinx)dx[/TEX]
Ta đổi biến [TEX]x=\pi-t \to dx=-dt[/TEX]
[TEX]\to \int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\int_{\pi}^{0}-(\pi-t).f[sin(\pi-t)]dt[/TEX]
[TEX]=-\int_{\pi}^{0}{\pi} f(sint)dt+\int_{\pi}^{0}tf(sint)dt[/TEX]
[TEX]=\int_{0}^{\pi}{\pi}f(sint)dt-\int_{0}^{\pi}t.f(sint)dt[/TEX]
[TEX]=\int_{0}^{\pi}{\pi}f(sinx)dx-\int_{0}^{\pi}x.f(sinx)dx[/TEX]
Suy ra [TEX]\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{{\pi}}f(sinx)dx[/TEX]
Last edited by a moderator:
mình thấy bài toán nguyên hàm cũng không dễ mà sao ít tài liệu về dạng đó quá, toàn là tích phân thôi