Toán 12 Nguyên hàm lượng giác.

[Zo_yaaaa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Help pls pls pls pls.
Giải chi tiết.

 

[Silvers Rayleigh]

Help pls pls pls pls.
Giải chi tiết.
View attachment 171804

quy đổi về sec⁵(x) .[tex]\int[/tex] sec⁵(x)dx
rồi tích phân từng phần
rồi dùng đẳng thức pytago thử xem :v

 

[Zo_yaaaa]

quy đổi về sec⁵(x) .[tex]\int[/tex] sec⁵(x)dx
rồi tích phân từng phần
rồi dùng đẳng thức pytago thử xem :v

À có quy về sec rồi nhưng tách sec^5 ra thành sec với sin kiểu gì ấy .__.

 

[Silvers Rayleigh]

À có quy về sec rồi nhưng tách sec^5 ra thành sec với sin kiểu gì ấy .__.

tan(x)sec³(x) /4 + [tex]\frac{3}{4} \int[/tex] sec³ (x)dx
rồi đặt sec(x) làm nhân tử chung xem ._.

 

[iceghost]

Help pls pls pls pls.
Giải chi tiết.
View attachment 171804

$$\int \frac{1}{\cos^5 x} \, \mathrm{d}x = \int \frac{\mathrm{d}(\sin x)}{(1 - \sin^2 x)^3}$$
Tới đây ta tách phân thức hữu tỉ, có thể sử dụng hệ số bất định hoặc:
$$\begin{aligned} \frac{1}{(1 - t^2)^3} &= \frac{1}8 \left( \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} \right)^3 \\
&= \frac{1}8 \left( \frac{1}{(1 - t)^3} + \frac{1}{(1 - t)^3} + 6 \cdot \frac{1}{[(1 - t)(1 + t)]^2} \right) \\
\frac{1}{[(1 - t)(1 + t)]^2} &= \frac{1}4 \left( \frac{1}{1 - t} + \frac1{1 + t} \right)^2 \\
&= \frac{1}4 \left( \frac{1}{(1 - t)^2} + \frac{1}{(1 + t)^2} + \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} \right)
\end{aligned}$$
Tới đây thay vào là ok nhé

 

[System32]

Help pls pls pls pls.
Giải chi tiết.
View attachment 171804

Một cách khác là sử dụng công thức giảm bậc (2 lần với bài này):

$${\displaystyle\int}\sec^{\mathtt{n}}\left(x\right)\,\mathrm{d}x=\class{steps-node}{\cssId{steps-node-1}{\dfrac{\mathtt{n}-2}{\mathtt{n}-1}}}{\displaystyle\int}\sec^{\mathtt{n}-2}\left(x\right)\,\mathrm{d}x+\dfrac{\sec^{\mathtt{n}-2}\left(x\right)\tan\left(x\right)}{\mathtt{n}-1}$$

Ta được:

$${\displaystyle\int}\dfrac{1}{\cos^5\left(x\right)}\,\mathrm{d}x = {\displaystyle\int}\sec^5\left(x\right)\,\mathrm{d}x$$

$$=\dfrac{\sec^3\left(x\right)\tan\left(x\right)}{4}+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-2}{\dfrac{3}{4}}}{\displaystyle\int}\sec^3\left(x\right)\,\mathrm{d}x$$

$$=\dfrac{\sec^3\left(x\right)\tan\left(x\right)}{4}+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-2}{\dfrac{3}{4}}} \left(\dfrac{\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)}{2}+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-3}{\dfrac{1}{2}}}{\displaystyle\int}\sec\left(x\right)\,\mathrm{d}x\right)$$

Ta có:

$${\displaystyle\int}\sec\left(x\right)\,\mathrm{d}x$$

$$={\displaystyle\int}\dfrac{\sec\left(x\right)\left(\tan\left(x\right)+\sec\left(x\right)\right)}{\tan\left(x\right)+\sec\left(x\right)}\,\mathrm{d}x ={\displaystyle\int}\dfrac{\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)+\sec^2\left(x\right)}{\tan\left(x\right)+\sec\left(x\right)}\,\mathrm{d}x \,\, (1)$$

Đặt $u=\tan\left(x\right)+\sec\left(x\right) \implies \mathrm{d}u= \sec\left(x\right)\tan\left(x\right)+\sec^2\left(x\right) \mathrm{d}x$

$(1)$ trở thành:

$${\displaystyle\int}\dfrac{1}{u}\,\mathrm{d}u = \ln\left(u\right) = \ln\left(|\tan\left(x\right)+\sec\left(x\right)|\right)$$

Vậy kết quả cuối cùng là:

$$\dfrac{\sec^3\left(x\right)\tan\left(x\right)}{4}+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-2}{\dfrac{3}{4}}} \left(\dfrac{\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)}{2}+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-3}{\dfrac{1}{2}}}\ln\left(|\tan\left(x\right)+\sec\left(x\right)|\right)\right)$$