nguyên hàm dạng căn thức

[truongthanhnghi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]\int_{}^{}\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}dx[/TEX]
giải giúp em với

 

[trungkstn@gmail.com]

Tính $I = \int \sqrt{\dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}dx$
Điều kiện: $0 \le x \le 1$
1. Xét $0 \le x < 1$
$I = \int \dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} dx$
Để ý $0 < \sqrt{1-x} \le 1$
Đặt $\sqrt{1-x} = \sin u$ (với $0 < u \le \dfrac{\pi}{2}$) \Rightarrow $\dfrac{-1}{2\sqrt{1-x}}dx=\cos u du$
mà ta lại có: $\cos u = \sqrt{x}$
Vậy $I = \int (-2)(1-\cos u)\cos u du = \int (2\cos^2 u - 2\cos u) du = \int (\cos 2u + 1 - 2\cos u) du = u - 2\sin u + \dfrac{\sin 2u}{2} + C= u - 2\sin u + \sin u \cos u + C$

Thay ngược lại ta có

$I = -2 \sqrt{1-x} + \sqrt{x(1-x)} + \arcsin (\sqrt{1-x}) +C$ (1)

2. Với $x = 1$ thì $I = C$ đúng với công thức (1)

Nên $I = (-2) \sqrt{1-x} + \sqrt{x(1-x)} + \arcsin (\sqrt{1-x}) +C$