người nào giỏi thì giải giùm

[minhnhat2810102]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Có một bài toán hình học khó về hệ thức lượng của tam giác cần được giải.

Đề bài: Cho tam giác ABC (góc A= 90 độ) đường cao AH; kẻ HE vuông góc AB; HF vuông góc AC.

Chứng minh:

a) AH^3 = BC.BE.CF
b) AH^3 = BC.HE.HF
c) BE^2 = BH^3/BC
d) CF^2 = CH^3/BC

^ là dấu mũ.
/ là dấu phân số

 

[datnickgiday]

a)
Xét tam giác ABH vuông tại H , ta có:
[TEX]BH^2=BE.BA[/TEX] (1)

Xét tam giác ACH vuông tại H , ta có:
[TEX]CH^2=CF.CA[/TEX] (2)

Xét tam giác ABC vuông tại A , ta có:
[TEX]AH^2=BH.CH[/TEX]
suy ra [TEX]AH^4=BH^2.CH^2 [/TEX] (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:
[TEX]AH^4=BE.BA.CF.CA[/TEX]

Mà: [TEX]BA.CA=AH.BC=2S_{ABC}[/TEX]

nên: [TEX]AH^4=BE.CF.AH.BC[/TEX]
suy ra [TEX]AH^3=BC.BE.CF[/TEX]

 

[datnickgiday]

b)
Ta có: [TEX]EH\perp \ AB[/TEX]
[TEX]AC\perp \ AB[/TEX]
=> EH // AC
=> góc BHE = góc HCF
=> tam giác BEH \sim \ tam giác HFC
=> BE : HF = EH : FC
=> BE . FC = EH . HF (1)
Mặt khác: [TEX]AH^3 = BC.BE.CF [/TEX] (CM ở câu a) (2)
Từ (1) và (2)=>[TEX]AH^3 = BC.HE.HF[/TEX]

 

[datnickgiday]

c)
Xét tam giác ABH vuông tại H , ta có:
[TEX]BH^2=BE.BA[/TEX]
=>[TEX]BH^4=BE^2.BA^2[/TEX]
Mà [TEX]BA^2=BH.BC[/TEX]
nên[TEX]BH^4=BE^2.BH.BC[/TEX]
=> [TEX]BH^3=BE^2.BC[/TEX]
=> [TEX]BE^2=BH^3:BC [/TEX]

d)
Xét tam giác ACH vuông tại H , ta có:
[TEX]CH^2=CF.CA[/TEX]
=>[TEX]CH^4=CF^2.CA^2[/TEX]
Mà [TEX]CA^2=CH.BC[/TEX]
nên[TEX]CH^4=CF^2.CH.BC[/TEX]
=> [TEX]CH^3=CF^2.BC[/TEX]
=> [TEX]CF^2=CH^3:BC [/TEX]