Nghiệm Nguyên

[bigbang195]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Một định lý và ứng dụng (Dựa theo bài viết của tác giả Đoàn Quang Mạnh và bài giảng của thấy Đ.H.Thắng):
Định lý:
Giả sử

là số nguyên tố lẻ với t, k là các số tự nhiên, k là số tự nhiên lẻ.
Khi đó, nếu các số tự nhiên x,y sao cho

thì x và y đồng thời chia hết cho p.

Chứng minh bổ đề: Ta sử dụng phép chứng minh bằng phản chứng. Giả sử x không chia hết cho p, từ giả thiết suy ra y cũng không chia hết cho p. Theo định lý nhỏ Fec-ma ta có:

Hay:

Suy ra:

Mà theo giả thiết

nên

(Do k lẻ)
Vậy điều giả sử trên của ta là sai. Tóm lại ta có đpcm.

Chú ý rằng

vì p là số nguyên tố lẻ. Khi t=1 và t=2 ta có các hệ quả sau.

Bài tập1: Cho số nguyên tố dạng p=4k+3 .
CMR: Nếu các số tự nhiên x,y thỏa mãn

thì x và y đều chia hết cho p.

Bài tập2: Cho số nguyên tố dạng p=4k+1, k là số tự nhiên lẻ.
CMR: Nếu các số tự nhiên x,y thỏa mãn

thì x và y đều chi hết cho p.

Bài tập 3: Giả sử a,b là hai số tự nhiên khác 0 nguyên tố cùng nhau. Khi đó các ước số nguyên tố lẻ của

chỉ có dạng 4m+1 với m là số tự nhiên.

Các bài tập nâng cao (Sử dụng định lý và các hệ quả trên để giải quyết):

Bài 1*: Giải phương trình nghiệm nguyên:

Bài 2*: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) sao cho

là số nguyên và là ước của 1995 (Thi HSG Bungary 1995)

Bài 3*: Giả sử a,b là các số nguyên dương sao cho 15a+16b và 16a-15b đều là các số chính phương. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nhỏ nhất trong hai số chính phương ấy.
(IMO lần thứ 37)

Bài 4*: Tìm các nghiệm nguyên dương của các phương trình:
a)

b)

c)

Bài 5*: Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình:

Bài 6*: Cho x và y là các số nguyên khác 0 sao cho

là số nguyên và là ước của 1978. Chứng minh rằng x=y. (Chọn đội tuyển QG CHLB Đức 1979)

 

[thienthanlove20]

Ta thấy [TEX]x^2, y^2[/TEX] chia cho 3 dư 0 hoặc 1 mà [TEX] x^2 + y^2 \vdots 3[/TEX] nên [TEX]x^2[/TEX] và [TEX]y^2[/TEX] đều chia hết cho 3. Do đó x và y đều chia hết cho 3.

Đặt [TEX]x = 3x_1, y = 3y^1[/TEX]. Chứng minh rằng [TEX]z \vdots 3 [/TEX], đặt [TEX]z = 3z_1[/TEX].

Dẫn đến [TEX](x_1, y_1, z_1)[/TEX] cũng đều là nghiệm của pt.

Đáp số: (0; 0; 0)

 

[thienthanlove20]

Bổ đề: Nếu [TEX]a^2 + b^2[/TEX] chia hết cho p mà p là số nguyên tố có dạng 4k + 3 thì a chia hết cho p và b chia hết cho p.

Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử một trong 2 số a và b ko chia hết cho p thì theo giả thiết suy ra số kia cũng ko chia hết cho p.

Theo định lí nhỏ Fecma:

[TEX]a^{p - 1} - 1[/TEX] chia hết cho p

[TEX]b^{p - 1} - 1[/TEX] chia hết cho p

Suy ra: [TEX]a^{p - 1} + b^{p - 1} - 2[/TEX] chia hết cho p. Do p = 4k +3 nên [TEX]a^{4k + 3} + b^{4k + 2} - 2[/TEX] chia hết cho p.

Ta có: [TEX]a^{4k + 3} + b^{4k + 2} = (a^2)^{2k + 1} + (b^2)^{2k + 1}[/TEX] chia hết cho [TEX]a^2 + b^2[/TEX] chia hết cho p nên 2 chia hết cho p.

Do p là số nguyên tố nên p = 2, trái với p = 4k + 3. Bổ đề đc chứng minh.

************************

Xét phương trình: [TEX]x^2 - y^3 = 7[/TEX]................................(1)

Biến đổi : [TEX]x^2 + 1 = y^3 + 8[/TEX]..............................(2)

Xét 2 trường hợp:

- Nếu y chẵn thì x lẻ. Khi đó vế trái của (2) chi cho 4 dư 2, còn vế phải chia hết cho 4. Mâu thuẫn.

- Nếu y lẻ, ta có:

[TEX](2) \Leftrightarrow x^2 + 1 = (y + 2)(y^2 - 2y + 4)[/TEX]

Ta thấy [TEX]y^2 - 2y = 4 = (y - 1)^2 + 3[/TEX] chia cho 4 dư 3 nên có ước nguyên tố p có dạng 4k + 3. Do đó [TEX]x^2 + 1[/TEX] có ước nguyên tố p có dạng 4k +1.

Theo bổ đề trên, 1 chia hết cho p, vô lí.

Vậy phương trình (1) ko có nghiệm nguyên.

 

[havy_204]

\Rightarrowđặt A=[TEX]a^2-y^3=7[/TEX]

(pt này nằm trong pt Mordell nè )

Nếu y là số chẵn thì ta có:

[TEX]x^2=y^3+7[/TEX]

\Rightarrow[TEX]y^3+7=7(mo8)[/TEX]

\Rightarrow[TEX]x^2[/TEX]=7(mod8)(loại)

Nếy y là số lẻ thì:

[TEX]x^2+1[/TEX]=[TEX]y^3+8[/TEX]

\Rightarrow[TEX]x^2+1=(y+2)(y^2-2y+4)[/TEX]

Nếu y=4k+1

\Rightarrow[TEX]y+2[/TEX]=4k+3

Nếu y=4k+3 thì:

[TEX]y^2-2y+4[/TEX]=[TEX](4k+3)^2-2(4k+3)+4[/TEX]

=4h+3

\Rightarrow[TEX]x^2+1[/TEX]chia hết cho p (4p+3)

\Rightarrowx chia hết cho p,1 chia hết cho p

\Rightarrowpt này vô ngiệm@};-

 

[havy_204]

[TEX]4xy-x-y=z^2[/TEX]
Nhân 4 vào mỗi vế ta có:

[TEX]16xy-4x-4y=4z^2[/TEX]

\Rightarrow[TEX](16xy-4x)^2-(4y-1)-1[/TEX]=[TEX]4z^2[/TEX]

\Rightarrow[TEX](ã-1)(4y-1)[/TEX]-1=[TEX]4z^2[/TEX]

\Rightarrow[TEX](4x-1)(4y-1)=4z^2+1[/TEX]

mà :

[TEX]4x-1[/TEX]=4(x-1)+3---(1)

[TEX]4y-1=4(y-1)+3[/TEX]-----(2)

Theo (1)(2) ta có:

\Rightarrow[TEX]z^2 +1 : het p [/TEX](ước nguyên tố p=4s+3)

\Rightarrow1 chia hết cho p

loại

nên pt này vô nghiệm

>>>oke>>>>>>>>>>@};-