Ta cm bài toán phụ: Với a, b là các số nguyên dương và $\sqrt{a}$;$\sqrt{b}$ là số vô tỉ thì $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ cũng là số vô tỉ.
Cm: Giả sử $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ là số hữu tỉ
Đặt $\sqrt{a}+\sqrt{b}$=$\dfrac{p}{q}$ (1) với p,q nguyên dương và (p,q)=1
\Leftrightarrow$\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$=$\dfrac{q}{p}$
\Leftrightarrow$\sqrt{a}-\sqrt{b}$=$\dfrac{q(a-b)}{p}$ (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta được $2\sqrt{a}$=$\dfrac{p}{q}+\dfrac{q(a-b)}{p}$
Dễ thấy VT vô tỉ, VP hữu tỉ\Rightarrowvô lý
Vậy giả sử sai\Rightarrow$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ vô tỉ
Trở lại với bài toán:
ĐKXĐ x\geq-1 ; y\geq$\dfrac{-2}{3}$
Phương trình tương đương với:
$\sqrt{3y+2}-\sqrt{x+1}$=3y+5-$\dfrac{11}{7}x$
Dễ thấy mọi số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1\Rightarrow$\sqrt{3y+2}$ vô tỉ
*Nếu $\sqrt{x+1}$ nguyên\RightarrowVT vô tỉ
*Nếu $\sqrt{x+1}$ vô tỉ
Theo bài toán phụ ta có VT vô tỉ
Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có VT vô tỉ
Mà VP hữu tỉ nên để PT có nghiệm thì VT=VP=0
Đến đây bạn tự giải tiếp.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn