Toán 9 Nếu [tex]ab\geq 1[/tex] thì $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$....

[Nguyễn Trí]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b là hai số thực dương. Chứng minh rằng:
[tex]a)[/tex] Nếu [tex]ab\geq 1[/tex] thì [tex]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}[/tex]
[tex]b)[/tex] Nếu [tex]ab\leq 1[/tex] thì [tex]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}[/tex]
Bài 2: Cho x,y là hai số thực dương. Chứng minh:
[tex](x+y)^2 +\frac{x+y}{2}\geq 2x\sqrt{y} +2y\sqrt{x}[/tex]
Bài 3: Chứng minh rằng nếu [tex]ax^3=by^3=cz^3[/tex] và [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1[/tex] thì:
[tex]\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}[/tex]

 

[Ann Lee]

Bài 1: Cho a,b là hai số thực dương. Chứng minh rằng:
[tex]a)[/tex] Nếu [tex]ab\geq 1[/tex] thì [tex]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}[/tex]
[tex]b)[/tex] Nếu [tex]ab\leq 1[/tex] thì [tex]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}[/tex]

Xét: [tex]A=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}-\frac{2}{1+\sqrt{ab}}[/tex]
Quy đồng, rút gọn......
Ta được [tex]A=\frac{(\sqrt{ab}-1)(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{(1+a)(1+b)(1+\sqrt{ab})}[/tex]
a) [tex]ab\geq 1\Rightarrow \sqrt{ab}\geq 1\Leftrightarrow \sqrt{ab}-1\geq 0\Leftrightarrow A\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}[/tex]
b) [tex]ab\leq 1\Rightarrow \sqrt{ab}\leq 1\Leftrightarrow \sqrt{ab}-1\leq 0\Leftrightarrow A\leq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}[/tex]

Bài 3: Chứng minh rằng nếu [tex]ax^3=by^3=cz^3[/tex] và [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1[/tex] thì:
[tex]\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}[/tex]

Đặt [tex]ax^3=by^3=cz^3=k^3[/tex] thì [tex]a=\frac{k^3}{x^3};b=\frac{k^3}{y^3};c=\frac{k^3}{z^3}[/tex]
Ta có: [tex]\sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}=k\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=1[/tex]
Mặt khác [tex]ax^2+by^2+cz^2=\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}=\frac{k^{3}}{x}+\frac{k^{3}}{y}+\frac{k^{3}}{z}=k^3.\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=k^3[/tex]
Do đó: [tex]\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}[/tex] (đpcm)

 

[Nguyễn Trí]

Với x=y=1x=y=1x=y=1 thì (x+y)2+x+y2=(1+1)2+1+12=5>4=2.1.1+2.1.1=2xy√+2yx−−√(x+y)2+x+y2=(1+1)2+1+12=5>4=2.1.1+2.1.1=2xy+2yx(x+y)^{2}+\frac{x+y}{2}=(1+1)^{2}+\frac{1+1}{2}=5>4=2.1.1+2.1.=2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}
=> BĐT bị sai.
Bạn xem lại đề.

Mình xem lại rồi, đề vẫn đúng mà

#Ann Lee: Xin lỗi bạn, là mình sai. Lúc ấy mình đã có sự nhầm lẫn nghiêm trọng. Để mình nghĩ lại.

 

[Nguyễn Trí]

#Ann Lee: Xin lỗi bạn, là mình sai. Lúc ấy mình đã có sự nhầm lẫn nghiêm trọng. Để mình nghĩ lại.

đâu có gì đâu bạn.

 

[Ann Lee]

Bài 2: Cho x,y là hai số thực dương. Chứng minh:
[tex](x+y)^2 +\frac{x+y}{2}\geq 2x\sqrt{y} +2y\sqrt{x}[/tex]

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
[tex]\frac{(x+y)^2}{2}+\frac{x}{2}\geq 2\sqrt{\frac{(x+y)^2}{2}.\frac{x}{2}}=\sqrt{x}(x+y)\geq \sqrt{x}.2\sqrt{xy}=2x\sqrt{y}[/tex]
Tương tự:
[tex]\frac{(x+y)^2}{2}+\frac{y}{2}\geq2y\sqrt{x}[/tex]
Suy ra: [tex](x+y)^2 +\frac{x+y}{2}\geq 2x\sqrt{y} +2y\sqrt{x}[/tex] (đpcm)
Dấu = xảy ra khi [tex]x=y=\frac{1}{4}[/tex]

 

[lengoctutb]

Bài 1: Cho a,b là hai số thực dương. Chứng minh rằng:
[tex]a)[/tex] Nếu [tex]ab\geq 1[/tex] thì [tex]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}[/tex]
[tex]b)[/tex] Nếu [tex]ab\leq 1[/tex] thì [tex]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}[/tex]
Bài 2: Cho x,y là hai số thực dương. Chứng minh:
[tex](x+y)^2 +\frac{x+y}{2}\geq 2x\sqrt{y} +2y\sqrt{x}[/tex]
Bài 3: Chứng minh rằng nếu [tex]ax^3=by^3=cz^3[/tex] và [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1[/tex] thì:
[tex]\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}[/tex]

Cách khác :

 

[iceghost]

Cách khác bài 2: Có $x+y \geqslant 2\sqrt{xy}$
$x+y + \dfrac12 = (x + \dfrac14) + (y + \dfrac14) \geqslant \sqrt{x} + \sqrt{y}$
Nhân vế theo vế ta có $(x+y)^2 + \dfrac{x+y}2 \geqslant 2x\sqrt{y} + 2y\sqrt{x}$ (đpcm)

 

[lengoctutb]

Cách khác bài 2: Có $x+y \geqslant 2\sqrt{xy}$
$x+y + \dfrac12 = (x + \dfrac14) + (y + \dfrac14) \geqslant \sqrt{x} + \sqrt{y}$
Nhân vế theo vế ta có $(x+y)^2 + \dfrac{x+y}2 \geqslant 2x\sqrt{y} + 2y\sqrt{x}$ (đpcm)

Nhân vế theo vế là sao vậy $?$

 

[Nguyễn Trí]

Nhân vế theo vế là sao vậy $?$

là nhân hai vế lại với nhau, VT thì nhân với VT, VP thì nhân với VP