1.a)Ta thấy:[tex]\widehat{ACD}=90^o(chắn dây đường kính AD )\Rightarrow AC\perp CD[/tex]
Mà [tex]IM//DC \Rightarrow IM \perp AC \Rightarrow \widehat{AMI}=90^o[/tex]
Tứ giác AHIM có [tex]\widehat{AHI}=\widehat{AMI}=90^o\Rightarrow[/tex]AHIM nội tiếp
b)Ta có: [tex]\widehat{ABC}=\widehat{ADC};\widehat{AHB}=\widehat{ACD}=90^o\Rightarrow \Delta ABH\sim \Delta ADC\Rightarrow \frac{AB}{AH}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow AB.AC=AH.AD[/tex]
c)Lây K là trung điểm của AB.
Cần chứng minh [tex]HK\perp HM[/tex]
Thật vậy, ta có:[tex]\widehat{KHA}=\widehat{KAH};\widehat{AHM}=\widehat{AIM}=\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\Rightarrow \widehat{AHM}+\widehat{KHA}=90^o\Rightarrow KH\perp MK(đpcm)[/tex]
d)Từ câu b) ta có [tex]\Delta ABH\sim \Delta ADC\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{BH}{DC}\Rightarrow AB.DC=AD.BH[/tex]
Lại có:[tex]\widehat{ADB}=\widehat{ACB};\widehat{ABD}=\widehat{AHC}=90^o\Rightarrow \Delta ABD\sim \Delta AHC\Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{HC}{BD}\Rightarrow AC.BD=AD.BD[/tex]
[tex]\Rightarrow AB.CD+AC.BD=AD.BH+AD.HC=AD.BC=2R.BC[/tex]
Vì [tex]BC<2R\Rightarrow AB.CD+AC.BD=2R.BC<4R^2[/tex]
2.a) Tứ giác ABOC có [tex]\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\Rightarrow[/tex]ABOC nội tiếp.
b)Tam giác AOC vuông tại C, CH vuông với AO [tex]\Rightarrow AC^2=AH.AO[/tex]
Ta thấy [tex]\widehat{ACM}=\widehat{AHC}\Rightarrow \Delta ACM\sim \Delta AHC\Rightarrow \frac{AC}{AM}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow AC^2=AM.AN\Rightarrow AM.AN=AH.AO[/tex]
c)Ta có:[tex]AM.AN=AH.AO\Rightarrow \frac{AM}{AH}=\frac{AO}{AN}\Rightarrow \Delta AMH\sim \Delta AON\Rightarrow \widehat{AHM}=\widehat{ANO}=\widehat{OMN}[/tex]
Tứ giác MHON có [tex]\widehat{AHM}=\widehat{ONM}\Rightarrow[/tex] MHON nội tiếp [tex]\Rightarrow \widehat{NHO}=\widehat{NMO}\Rightarrow \widehat{NHO}=\widehat{AHM}\Rightarrow \widehat{NHB}=\widehat{MHB}(đpcm)[/tex]
d)Vẽ MD vuông với BC.
Dễ thấy BIMD và CDMK nội tiếp.
Ta có:BIMD nội tiếp [tex]\Rightarrow \widehat{IDM}=\widehat{IBM}=\widehat{BCM}(=\frac{1}{2}sđBM)[/tex]
CDMK nội tiếp [tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \widehat{DCM}=\widehat{DKM}\\ \widehat{KDM}=\widehat{KCM}=\widehat{CBM}=\widehat{DIM} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow \Delta IDM\sim \Delta MDK\Rightarrow \frac{MI}{MD}=\frac{MD}{MK}\Rightarrow MI.MK=MD^2[/tex]
Để MI.MK lớn nhất thì MD lớn nhất hay M ở giữa cung BC.
3.a)Vì các góc [tex]\widehat{BMA},\widehat{CNA}[/tex] chắn nửa đường tròn nên [tex]\widehat{BMA}=\widehat{CNA}=90^o\Rightarrow[/tex] BMNC là hình thang vuông
b) Vẽ IK vuông với MN.
Hình thang BMNC có [tex]IB=IC,IK//BM\Rightarrow KM=KN[/tex]
Tam giác IMN có IK vừa là trung tuyến vừa là đường cao [tex]\Rightarrow IM=IN[/tex]
c)Ta có:[tex]BM+MN+NC=(BM+MA)+(CN+NB)\leq \sqrt{2(BM^2+MA^2)}+\sqrt{2(CN^2+NA^2)}=\sqrt{2AB^2}+\sqrt{2AC^2}=\sqrt{2}(AB+AC)[/tex]
[tex]\Rightarrow BM+MN+NC+BC\leq \sqrt{2}(AB+AC)+BC[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi d // BC.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Giúp mình mấy bài này với ạ 
