[Nâng cao] Tổng hợp!!!

[lykkenaturligsen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2 + xy + y^2 = x^2y^2$.
Bài 2:
Cho a, b, c là các số thực khác 0 sao cho: $ac + bc + 3ab < 0$. C/m phương trình sau luôn có nghiệm:
$$(ax^2 + bx + c)(bx^2 + cx + a)(cx^2 + ax + b) = 0.$$
Bài 3:
Cho a, b, c là 3 số dương thoã: $\dfrac{1}{1 + a} + \dfrac{1}{1 + b} + \dfrac{1}{1 + c} = 2$. Tìm GTLN của tích: abc.

 

[vngocvien97]

Bài 1:
Ta có:
$$x^2+y^2+xy=x^2y^2$$
$\Leftrightarrow$$$(x^2+2xy+y^2)=x^2y^2+xy$$
$\Leftrightarrow$$$(x+y)^2=xy(xy+1)$$
Ta thấy: $xy$ và $xy+1$ là 2 số nguyên liên tiếp mà tích của chúng là $1$ số chính phương.
$\Rightarrow$ Hoặc $xy=0$ hoặc $xy+1=0$
+/ Với $xy=0$$\Rightarrow$$x=y=0$
+/ Với $xy+1=0$$\Rightarrow$$xy=-1$ và $(x+y)^2=0$$\Rightarrow$$(x,y)=(1;-1),(-1;1)$
Vậy phương trình có tập nghiệm: $(x;y)=(1;-1),(-1;1),(0;0)$

Bài 3:
Ta có:
$\dfrac{1}{1+a}=1-\dfrac{1}{1+b}+1-\dfrac{1}{1+c}$
$\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{1+a}=\dfrac{b}{1+b}+ \dfrac{c}{1+c}$
Mà $\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}$ $\geq$ $2\sqrt[]{\dfrac{bc}{(1+b)(1+c)}}$
hay $\dfrac{1}{1+a}$ $\geq$ $2\sqrt[]{\dfrac{bc}{(1+b)(1+c)}}$ $\ \ (1)$
CMTT: $\dfrac{1}{1+b}$ $\geq$ $2\sqrt[]{\dfrac{ac}{(1+a)(1+c)}}$ $\ \ (2)$
$\dfrac{1}{1+c}$ $\geq$ $2\sqrt[]{\dfrac{ab}{(1+a)(1+b)}}$ $\ \ (3)$
Nhân vế với vế của $3$ bất đẳng thức trên ta được:
$\dfrac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}$ $\geq$ $\dfrac{8abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}$
$\Rightarrow$ $abc$ $\leq$ $\dfrac{1}{8}$
Vậy $abc_{max}=\dfrac{1}{8}$ $\Leftrightarrow$ $a=b=c=\dfrac{1}{2}$