Toán nâng cao 9

[xuanthuyav@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a. cho các số thực a,b thỏa mãn a+b khác 0 . cmr
[tex]a^{2}+b^{2} +(\frac{1+ab}{a+b})^{2} \geq 2[/tex]
b.cho các số thực a,b,c dương thõa mãn a+b+c=1.tìm GTLN của M = [tex]\sqrt{a^{2}+abc}+\sqrt{b^{2}+abc}+\sqrt{c^{2}+abc}+9\sqrt{abc}[/tex]
c.với mỗi số nguyên dương n ; cmr
[tex](3+\sqrt{5})^{n}+(3-\sqrt{5})^{n}[/tex]
là số nguyên dương
d. giả sử x,y là 2 số thực phân biệt thỏa mãn
[tex]\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}=\frac{1}{1+xy}[/tex]
Hãy tính S=
[tex]\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{1+xy}[/tex]

 

[hieu030103]

Câu a này (sử dụng công cụ khá mạnh là bất đẳng thứ AM-GM )
[tex]a^{2}+b^{2}+\left ( \frac{1+ab}{a+b}\right )^{2}\doteq a^{2}+b^{2}-2ab+\left ( \frac{1+ab}{a+b}\right )^{2}+2ab=(a+b)^{2}+\left ( \frac{1+ab}{a+b}\right )^{2}-2ab\geq 2(1+ab)-2ab=2[/tex]
(đpcm)

 

[matheverytime]

a. cho các số thực a,b thỏa mãn a+b khác 0 . cmr
[tex]a^{2}+b^{2} +(\frac{1+ab}{a+b})^{2} \geq 2[/tex]
b.cho các số thực a,b,c dương thõa mãn a+b+c=1.tìm GTLN của M = [tex]\sqrt{a^{2}+abc}+\sqrt{b^{2}+abc}+\sqrt{c^{2}+abc}+9\sqrt{abc}[/tex]
c.với mỗi số nguyên dương n ; cmr
[tex](3+\sqrt{5})^{n}+(3-\sqrt{5})^{n}[/tex]
là số nguyên dương
d. giả sử x,y là 2 số thực phân biệt thỏa mãn
[tex]\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}=\frac{1}{1+xy}[/tex]
Hãy tính S=
[tex]\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{1+xy}[/tex]

câu 2

 

[hieu030103]

b.cho các số thực a,b,c dương thõa mãn a+b+c=1.tìm GTLN của M =

Cách 2
Dễ dàng đánh đánh giá được
[tex]\bg_white 9\sqrt{abc}\leq 9 \sqrt{\frac{\left (a+b+c \right )^{3}}{27}}= 9 \sqrt{\frac{\left (1 \right )^{3}}{27}}=\sqrt{3}[/tex]
Về việc xử lí mớ còn lại mình sẽ làm mẫu một cái
[TEX]\sqrt{a^{2}+abc}\doteq \sqrt{a\left ( a+bc \right )}=\sqrt{a\left ( 1-b-c+bc \right )}=\sqrt{a\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}=\sqrt{\frac{a}{2}\left ( 1-b \right )\frac{a}{2}\left ( 1-c \right )}=\sqrt{\left ( \frac{a}{2}-\frac{ab}{2} \right )\left ( \frac{a}{2}-\frac{ac}{2} \right )}\leq \ ...[/TEX]
đánh giá tương tự [TEX]\sqrt{b^{2}+abc}[/TEX] và [TEX]\sqrt{c^{2}+abc} [/TEX]
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1/3