Một vài câu hỏi trong các đề hsg

[lan_phuong_000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho phương trình [TEX]x^4+x^2+2mx+m^2+2m+1=0[/TEX]
a) Tìm giá trị của m để nghiệm của pt đã cho đạt GTLN
b) Tìm giá trị của m để nghiệm của pt đã cho đạt GTNN
Bài 2: CM [tex] \frac{n^5}{120} - \frac{n^3}{24} + \frac{2011n}{30} [/tex] có giá trị nguyên với mọi m thuộc Z
Bài 3: Giải pt:
a)[TEX]2(x+1)^4-(2x-1)(3x^2+10x+1)=0[/TEX]
b)[TEX]x^3+x^2(1-2\sqrt{x})-4\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)-4=0[/TEX]
c) [TEX](x^2-19x-66)(x^2-21x-46)=2006[/TEX]
Bài 4:
a)Cho pt bậc hai: [TEX]x^2-(k+1)x+k=0[/TEX] (k thuộc R) có hai nghiệm là [TEX]x_1;x_2[/TEX] Đặt [TEX]M=(x_1^2x_2+x_2^2x_1-2x_1x_2)(x_1^2+x_2^2-x-1x_2-2)[/TEX]
Tìm k để biểu thức M đạt GTNN
b) Cho pt bậc hai: [TEX]x^2-2(m-1)x+m^2-2=0[/TEX], (m thuộc R)
Tìm m để pt đã cho có hai nghiệm [TEX]x_1; x_2[/TEX] thỏa mãn BĐT [TEX]\sqrt{(x_1-1)(x_2-1)+1}\geq1-3m[/TEX]
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên dương của pt: [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{3z}=1[/TEX]
Bài 6:
a) Cho các số dương a,b thỏa mãn [TEX]a+b=2\sqrt{2}[/TEX]. CMR : [TEX]\frac{1}{ab}+\frac{2}{a^2+b^2}\geq 1[/TEX]
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của pt sau:
[TEX]x^3+y^3+1=3xy[/TEX]
c) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của pt:
[TEX]3x^2+10xy+8y^2=40[/TEX]
Bài 7:
a)Chứng minh pt sau đây luôn luôn có nghiệm là số hữu tỉ với mọi số nguyên n:
[TEX]nx^2-2x-(n+1)(n+2)(n+3)=0[/TEX]
b) Tùy theo tham số a, hãy tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]F=(ax-2y+1)^2+(3x+y)^2[/TEX]
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tích hai nghiệm của pt sau đạt GTNN:
[TEX]|m-2005|+|m-2006|)x^2-x-1=0[/TEX]
d) CMR: [TEX]n^5-n[/TEX] chia hết cho 10 với mọi số nguyên dương n
Bài 8: Giải hpt:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} \frac{x+y}{xy}+\frac{2xy}{x+y}=3 \\ \frac{x-y}{xy}-\frac{2xy}{x-y}=1 \end{array} \right.[/tex]

 

[lan_phuong_000]

17 tiếng rồi mà không thấy ai giải, mình mạo muội giải một bài vậy

d) CMR: [TEX]n^5-n[/TEX] chia hết cho 10 với mọi số nguyên dương n

[TEX]n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2-4+5)=(n-1)n(n+1)(n^2-4)+(n-1)n(n+1)5=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)[/TEX]

 

[son9701]

Chém dần (nhiều bài thế này chắc lên thành bão rồi ^^)
Bài 2:Ta có:
[TEX]\frac{n^5}{120}-\frac{n^3}{24}+\frac{2011n}{30}=\frac{n^5-5n^3+4n}{120}+670n[/TEX]
Mặt khác:
[tex]n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)[/tex]
Tích này luôn chia hết cho 120 (tích 5 số nguyên liên tiếp)
Vậy biểu thức đề bài luôn đạt 1 giá trị nguyên
Bài 5:K mất tính tổng quát ta có thể giả sử x \geq 2y \geq 3z
--> [tex]1 \leq \frac{3}{3z}=\frac{1}{z} \rightarrow z \leq 1 \rightarrow z=1[/tex]
z=1 thì [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=\frac{2}{3}\leq \frac{2}{2y} \rightarrow y=1 \rightarrow x=6[/tex]
Vậy nghiệm nguyên dương pt: (x;y;z)=(6;1;1) và các hoán vị

Bài 1: Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn m sau đó tìm cực trị của x bằng điều kiện có nghiệm

 

[minhtuyb]

Bài 3: Giải pt:
a)[TEX]2(x+1)^4-(2x-1)(3x^2+10x+1)=0[/TEX]
b)[TEX]x^3+x^2(1-2\sqrt{x})-4\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)-4=0[/TEX]
c) [TEX](x^2-19x-66)(x^2-21x-46)=2006[/TEX]

a)[TEX]2(x+1)^4-(2x-1)(3x^2+10x+1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2x^4+2x^3-5x^2+16x+3=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (2x^4-4x^3+6x^2)+(6x^3-12x^2+18x)+(x^2-2x+3)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^2-2x+3)(2x^2+6x+1)=0[/TEX]
...
Pt có nghiệm [TEX]x_1=\frac{-3-\sqrt{7}}{2};x_2=\frac{-3+\sqrt{7}}{2}[/TEX]

b)[TEX]x^3+x^2(1-2\sqrt{x})-4\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)-4=0[/TEX]
Phân tích đa thức thành nhân tử được:
[TEX](\sqrt{x}-1)^2(x-2)(x+2)=0[/TEX]
Pt có nghiệm [TEX]x_1=1;x_2=2;x_3=-2[/TEX]

c) [TEX](x^2-19x-66)(x^2-21x-46)=2006[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-23)(x+3)(x-22)(x+2)=2006[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^2-20x-69)(x^2-20x-44)=2006[/TEX]
Đặt [TEX]y=x^2-20x-44[/TEX]:
[TEX]\Leftrightarrow y(y-25)-2006=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (y-59)(y+34)=0[/TEX]
Thế vào rồi giải tiếp nhé

 

[minhtuyb]

Bài 1: Cho phương trình [
Bài 6:
a) Cho các số dương a,b thỏa mãn [TEX]a+b=2\sqrt{2}[/TEX]. CMR : [TEX]\frac{1}{ab}+\frac{2}{a^2+b^2}\geq 1[/TEX]
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của pt sau:
[TEX]x^3+y^3+1=3xy[/TEX]
c) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của pt:
[TEX]3x^2+10xy+8y^2=40[/TEX]

[TEX]a/ VT=2(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2})[/B] [B]\geq 2.\frac{4}{a^2+2ab+b^2}=\frac{8}{(a+b)^2}=1<Q.E.D>[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=\sqrt{2}[/TEX]

b/- Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số:
[TEX]VT=x^3+y^3+1\geq 3\sqrt[3]{x^3.y^3.1}=3xy=VP[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] Xảy ra ở dấu đẳng thức: [TEX]x=y=1(TM)[/TEX]
Bài này không phải tìm nguyệm nguyên thì kết quả vẫn vậy

c/[TEX]3x^2+10xy+8y^2=40[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+2y)(3x+4y)=40[/TEX]
Kết hợp: [TEX]x,y>0;(x+2y)+(3x+4y)=4x+6y\vdots 2\Rightarrow (x+2y);(3x+4y)[/TEX] cùng tính chẵn lẻ. Đến đây giải pt ước số

 

[lan_phuong_000]

Giải thử bài 1, 4, 7 đi, xem bộ hay phết đó

Mình có CM BĐT sau, mọi người xem có sai sót j không

CM: [TEX]\mathcal{A=x^3+y^3 \geq xy(x+y)}[/TEX] với x,y > 0
Ta có: [TEX]\mathcal{(x-y)^2 \geq 0}[/TEX]
[TEX]\mathcal{\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2 \geq 0}[/TEX]
[TEX]\mathcal{\Leftrightarrow x^2 - xy - y^2 \geq xy}[/TEX]
[TEX]\mathcal{\Rightarrow (x^2 - xy- y^2)(x+y) \geq xy(x+y)}[/TEX]
[TEX]\mathcal{\Leftrightarrow x^3 + y^3 \geq xy(x+y)}[/TEX] (đpcm)

Mình mới giải thử nên bạn nào có cách giải khác hay hơn thì post lên cho mình tham khảo với nha!

 

[minhtuyb]

Bài 8: Giải hpt:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} \frac{x+y}{xy}+\frac{2xy}{x+y}=3 \\ \frac{x-y}{xy}-\frac{2xy}{x-y}=1 \end{array} \right.[/tex]

Đặt [TEX]a=\frac{x+y}{xy};b=\frac{x-y}{xy}(a,b\neq 0)[/TEX]. Hệ tương đương:
[TEX]\left\{\begin{matrix}a+\frac{2}{a}=3\\ b-\frac{2}{b}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=\left \{ 1;2 \right \}\\ b=\left \{ -1;2 \right \}\end{matrix}\right.[/TEX]
Đến đây đơn giản rồi . KL hệ có nghiệm [TEX](-2;\frac{2}{3});(\frac{2}{3};2)[/TEX]

*Một cách khác c/m BĐT của bạn.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số, ta có:
[TEX]x^3+x^3+y^3\geq 3\sqrt[3]{x^3.x^3.y^3}=3x^2y[/TEX]
[TEX]x^3+y^3+y^3\geq 3\sqrt[3]{x^3.y^3.y^3}=3xy^2[/TEX]
Cộng lại có:
[TEX]3(x^3+y^3)\geq 3x^2y+3xy^2\Leftrightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)<Q.E.D>[/TEX]
*Từ BĐT đó có thể dễ dàng cm BĐT: [TEX]4(x^3+y^3)\geq (x+y)^3(x,y>0)[/TEX]. Thử nhé

 

[lan_phuong_000]

*Từ BĐT đó có thể dễ dàng cm BĐT: [TEX]4(x^3+y^3)\geq (x+y)^3(x,y>0)[/TEX]. Thử nhé

Mình thử CM nha!
Theo BĐT Cô-si, ta có:
[TEX]x^3+x^3+y^3\geq3\sqrt[3]{x^3x^3y^3}=3x^2y[/TEX]
[TEX]x^3+y^3+y^3\geq3\sqrt[3]{x^3y^3y^3}=3xy^2[/TEX]
Cộng lại được:
[TEX]3(x^3+y^3)\geq3x^2y+3xy^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 4(x^3+y^3) \geq x^3+y^3+3x^2y+3xy^2=(x+y)^3[/TEX]

 

[minhtuyb]

Chuẩn, đây là dãy "đồng đẳng" của BĐT trên ):

Với [tex]a,b\geq 0[/tex], ta cm được các BĐT sau:
[TEX]2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2[/TEX]
[TEX]4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3[/TEX]
[TEX]8(a^4+b^4)\geq (a+b)^4[/TEX]
[TEX]16(a^5+b^5)\geq (a+b)^5[/TEX]
...
[TEX]\frac{a^n+b^n}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^n\Leftrightarrow 2^{n-1}(a^n+b^n)\geq (a+b)^n (n\in N)[/TEX]

 

[lan_phuong_000]

Tính:
[TEX]D=\sqrt{1+199^2+\frac{1999^2}{2000^2}}+\frac{1999}{2000}[/TEX]

 

[lan_phuong_000]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của A trên BC, của B trên AO và M là trung điểm của BC. CM: MD = ME

 

[vip_boy_hp_9x]

a)[TEX]2(x+1)^4-(2x-1)(3x^2+10x+1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2x^4+2x^3-5x^2+16x+3=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (2x^4-4x^3+6x^2)+(6x^3-12x^2+18x)+(x^2-2x+3)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^2-2x+3)(2x^2+6x+1)=0[/TEX]
...
Pt có nghiệm [TEX]x_1=\frac{-3-\sqrt{7}}{2};x_2=\frac{-3+\sqrt{7}}{2}[/TEX]

b)[TEX]x^3+x^2(1-2\sqrt{x})-4\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)-4=0[/TEX]
Phân tích đa thức thành nhân tử được:
[TEX](\sqrt{x}-1)^2(x-2)(x+2)=0[/TEX]
Pt có nghiệm [TEX]x_1=1;x_2=2;x_3=-2[/TEX]

c) [TEX](x^2-19x-66)(x^2-21x-46)=2006[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-23)(x+3)(x-22)(x+2)=2006[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^2-20x-69)(x^2-20x-44)=2006[/TEX]
Đặt [TEX]y=x^2-20x-44[/TEX]:
[TEX]\Leftrightarrow y(y-25)-2006=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (y-59)(y+34)=0[/TEX]
Thế vào rồi giải tiếp nhé

thank nha!!!&gt;-&gt;-&gt;-&gt;-&gt;-

 

[son9701]

Tính:
[TEX]D=\sqrt{1+199^2+\frac{1999^2}{2000^2}}+\frac{1999}{2000}[/TEX]

Trong dấu căn thì phải là 2 cái 1999^2 chứ nhỉ.Lời giải có thể như sau ( vì chưa rõ đề bài):
Đặt 2000=a thì
[tex]E=\sqrt{a^2-2a+2+\frac{a^2-2a+1}{a^2}}=\sqrt{\frac{(a^2-a+1)^2}{a^2}}=\frac{a^2-a+1}{a}[/tex]
--> [TEX]D=E+\frac{a-1}{a}=\frac{a^2-a+1+a-1}{a}=\frac{a^2}{a}=a=2000[/TEX]
Vậy D=2000

P/s: Dạng toán như thế này rất hay có trong bài 1 đề thi sư phạm hà nội.
Cách làm thì thường là đặt 1 hằng số thành ẩn để giải (Để nguyên nhìn sẽ rất nguy hiểm)