[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Dãy số là một dạng bài tập khá hay và khó trong chương trình THPT. Tuy chỉ học có 2 dãy cơ bản là cấp số cộng và cấp số nhân nhưng mức độ áp dụng lại cao hơn 2 dạng trên nhiều. Vậy bây giờ, chúng ta sẽ đi vào tìm hiểu cách làm đối với dạng toán này
*Cách 1:Cộng trừ số thích hợp để đưa về dạng cấp số cộng, cấp số nhân
VD:
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=2\\ u_{n+1}=3u_{n-1}+2 \end{matrix}\right.[/tex]
ta thấy dãy Un trên không phải là cấp số cộng hoặc cấp số nhân. vậy ta phải biến đổi thêm bớt một số [tex]\alpha[/tex] để thành được cấp số nhân. Cụ thể ở đây [tex]\alpha =1[/tex] :
[tex]u_{n+1}+1= 3(u_{n}+1)[/tex]
nếu đặt [tex]v_{n}= u_{n}+1[/tex]
ta sẽ được :[tex]\left\{\begin{matrix} v_{1}=u_{1}+1=3\\ v_{n+1}=3v_{n} \end{matrix}\right.[/tex]
đến giờ, ta đã có một dãy Vn với số hạng đầu là 3, q=3
[tex]v_{n}=v_{1}.q^{n-1}=3.3^{n-1}=3^{n}[/tex]
Do đó [tex]u_{n}=v_{n}-1=3^{n}-1[/tex]
TỔNG QUÁT HÓA:
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=m\\ u_{n+1}=\alpha u_{n}+\beta \end{matrix}\right.[/tex] với [tex]\alpha \neq 1[/tex]
thì ta sẽ thêm 2 vế một lượng [tex]a=\frac{\beta }{\alpha -1}[/tex]
Để đưa về dãy cấp số nhân đơn giản.
VD2:
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=1\\u_{n+1}=u_{n}-2n-1 \end{matrix}\right.[/tex]
xuất hiện thêm 2n làm chúng ta không thể sử dụng phương án trên được vì vậy. Chúng ta không đơn thuần chỉ thêm 1 sô hạng, mà còn phải thêm 1 biểu thưc. ví dụ trong bài, chúng ta sẽ thêm 1 lượng [tex]n^{2}[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=1\\ u_{n+1}+(n+1)^{2}=u_{n}+n^{2} \end{matrix}\right.[/tex]
nếu đặt [tex]v_{n}=u_{n}+n^{2}[/tex]
ta sẽ được dãy không đổi vn=2
VD:
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=2\\ u_{n+1}=3u_{n-1}+2 \end{matrix}\right.[/tex]
ta thấy dãy Un trên không phải là cấp số cộng hoặc cấp số nhân. vậy ta phải biến đổi thêm bớt một số [tex]\alpha[/tex] để thành được cấp số nhân. Cụ thể ở đây [tex]\alpha =1[/tex] :
[tex]u_{n+1}+1= 3(u_{n}+1)[/tex]
nếu đặt [tex]v_{n}= u_{n}+1[/tex]
ta sẽ được :[tex]\left\{\begin{matrix} v_{1}=u_{1}+1=3\\ v_{n+1}=3v_{n} \end{matrix}\right.[/tex]
đến giờ, ta đã có một dãy Vn với số hạng đầu là 3, q=3
[tex]v_{n}=v_{1}.q^{n-1}=3.3^{n-1}=3^{n}[/tex]
Do đó [tex]u_{n}=v_{n}-1=3^{n}-1[/tex]
TỔNG QUÁT HÓA:
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=m\\ u_{n+1}=\alpha u_{n}+\beta \end{matrix}\right.[/tex] với [tex]\alpha \neq 1[/tex]
thì ta sẽ thêm 2 vế một lượng [tex]a=\frac{\beta }{\alpha -1}[/tex]
Để đưa về dãy cấp số nhân đơn giản.
VD2:
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=1\\u_{n+1}=u_{n}-2n-1 \end{matrix}\right.[/tex]
xuất hiện thêm 2n làm chúng ta không thể sử dụng phương án trên được vì vậy. Chúng ta không đơn thuần chỉ thêm 1 sô hạng, mà còn phải thêm 1 biểu thưc. ví dụ trong bài, chúng ta sẽ thêm 1 lượng [tex]n^{2}[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=1\\ u_{n+1}+(n+1)^{2}=u_{n}+n^{2} \end{matrix}\right.[/tex]
nếu đặt [tex]v_{n}=u_{n}+n^{2}[/tex]
ta sẽ được dãy không đổi vn=2
BT:
a)
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=1\\ u_{n+1}=2u_{n}+3n+2 \end{matrix}\right.[/tex]
b)
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{2}{3}\\ u_{n+1}=u_{n}-n^{2}-n-\frac{1}{3} \end{matrix}\right.[/tex]
a)
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=1\\ u_{n+1}=2u_{n}+3n+2 \end{matrix}\right.[/tex]
b)
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{2}{3}\\ u_{n+1}=u_{n}-n^{2}-n-\frac{1}{3} \end{matrix}\right.[/tex]
*Cách 2: Dùng lượng giác hóa
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{1}{3}\\ u_{n+1}=2u_{n}^{2} -1 \end{matrix}\right.[/tex]
Ta nhận ra công thức lượng giác quen thuộc:
[tex]cos2x=2.cos^{2}x-1[/tex]
vậy nên nếu ta đặt [tex]u_{1}=cost=\frac{1}{3}\Rightarrow u_{2}=cos2t;u_{3}=cos4t.....\Rightarrow u_{n}=cos(2^{n-1}t)[/tex] ( với t=[tex]arccos(\frac{1}{3})[/tex]
dạng này khá dễ nhận biết nên mình chỉ cho 1 ví dụ. các bạn có thể tự làm thêm trong phần bài tập sau:
a:
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=30\\ u_{n+1}= \frac{u_{n}+6}{1-6u_{n}} \end{matrix}\right.[/tex]
b)
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{3}{20}\\ u_{n+1}=u_{n}.\sqrt{1-u_{n}^{2}} \end{matrix}\right.[/tex]
Ta nhận ra công thức lượng giác quen thuộc:
[tex]cos2x=2.cos^{2}x-1[/tex]
vậy nên nếu ta đặt [tex]u_{1}=cost=\frac{1}{3}\Rightarrow u_{2}=cos2t;u_{3}=cos4t.....\Rightarrow u_{n}=cos(2^{n-1}t)[/tex] ( với t=[tex]arccos(\frac{1}{3})[/tex]
dạng này khá dễ nhận biết nên mình chỉ cho 1 ví dụ. các bạn có thể tự làm thêm trong phần bài tập sau:
a:
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=30\\ u_{n+1}= \frac{u_{n}+6}{1-6u_{n}} \end{matrix}\right.[/tex]
b)
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{3}{20}\\ u_{n+1}=u_{n}.\sqrt{1-u_{n}^{2}} \end{matrix}\right.[/tex]
*Cách 3: Tìm công thức tổng quát bằng phương trình đặc trưng
(dãy cho bởi 2 số hạng đầu trở lên)
VD1:
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=1,u_{2}=2\\u_{n+2}=4u_{n+1}+u_{n} \end{matrix}\right.[/tex]
Ta có
[tex]u_{n+2}-4u_{n+1}-u_{n}=0[/tex]
Xét phương trình [tex]X^{2}-4X-1=0[/tex] có 2 nghiệm [tex]X=2\pm \sqrt{5}[/tex]
vậy nên [tex]u_{n}[/tex] luôn viết được dưới dạng [tex]u_{n}=\alpha.(2+\sqrt{5})^{n}+\beta .(2-\sqrt{5})^{n}[/tex]
thay n=1 và n=2 lần lượt vào ta được
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=\alpha (2+\sqrt{5})+\beta (2-\sqrt{5})=1\\ u_{2}=\alpha (2+\sqrt{5})^{2}+\beta (2-\sqrt{5})^{2}=2 \end{matrix}\right.[/tex]
từ đó giải ra [tex]\alpha \beta[/tex]
BT dạng này bạn có thể tìm hiểu thêm về dãy Fibonalxi
Chúc các bạn học tốt!!!!!!VD1:
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=1,u_{2}=2\\u_{n+2}=4u_{n+1}+u_{n} \end{matrix}\right.[/tex]
Ta có
[tex]u_{n+2}-4u_{n+1}-u_{n}=0[/tex]
Xét phương trình [tex]X^{2}-4X-1=0[/tex] có 2 nghiệm [tex]X=2\pm \sqrt{5}[/tex]
vậy nên [tex]u_{n}[/tex] luôn viết được dưới dạng [tex]u_{n}=\alpha.(2+\sqrt{5})^{n}+\beta .(2-\sqrt{5})^{n}[/tex]
thay n=1 và n=2 lần lượt vào ta được
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=\alpha (2+\sqrt{5})+\beta (2-\sqrt{5})=1\\ u_{2}=\alpha (2+\sqrt{5})^{2}+\beta (2-\sqrt{5})^{2}=2 \end{matrix}\right.[/tex]
từ đó giải ra [tex]\alpha \beta[/tex]
BT dạng này bạn có thể tìm hiểu thêm về dãy Fibonalxi
