Một vài bài tích phân

[duynhan1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tính tích phân: $$I_1 = \int_0^1 \frac{1}{1+\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} \text{dx}$$
2. Tính tích phân: $$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x . \sin x . \cos^2 x - 2 \sin^2 x}{\cos^2 x \sqrt{1+\sin^2 x}} \text{dx} $$
3. Tính tích phân: $$I_3 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \left( \frac{ \left( 17 - \cos 4x \right)^x}{\left( 1+\sin^2 x \right)^{\frac{\pi}{2}}} \right) \text{dx}$$
4. Tính tích phân: $$I_4 = \int_{3}^{\sqrt{7}} \frac{x^3}{\sqrt[3]{(x^2+x)^2}} \text{dx}$$

 

[jet_nguyen]

Mình thử bài 1 nha.
Đặt : $t=\sqrt{x}$ \Rightarrow $x=t^2,\ dx=2tdt.$ Thì : $$I=2\int_{0}^{1}\frac{tdt}{1+t+\sqrt{1+t^2}}$$ Ta lại đặt tiếp: : $u=1+t+\sqrt{1+t^2}$ \Rightarrow$ t=\dfrac{u^2-2u}{2u-2},\ dt=\dfrac{u^2-2u+2}{2(u-1)^2}.$ Thay vào ta có : $$I=\frac{1}{2}\int_{2}^{2+\sqrt{2}}\frac{(u^2-2u)(u^2-2u+2)}{u(u-1)^3}du$$$$=\frac{1}{2}\int_{2}^{2+\sqrt{2}}\frac{(u-1)^4-1}{u(u-1)^3}du$$

 

[truongduong9083]

mình thử bài 3 xem

Đặt [TEX]x = \frac{\pi}{2} - t \Rightarrow dx = - dt[/TEX]
nên
[tex]I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} ln\frac{(17-cos4x)^{\frac{\pi}{2}-x}}{(1+cos^2x)^{\frac{\pi}{2}}}dt[/tex]
cộng hai tích phân lại ta được
[TEX]2I = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} ln\frac{(17-cos4x)^{\frac{\pi}{2} -x}} {(1+cos^2x)^{\frac{\pi}{2}}}dx + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} ln\frac{(17-cos4x)^{x}} {(1+sin^2x)^{\frac{\pi}{2}}}dx [/TEX]
[TEX] = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} ln\frac{(17-cos4x)^{\frac{\pi}{2}-x}} {(1+cos^2x)^{\frac{\pi}{2}}}dx+ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} ln\frac{(17-cos4x)^{x}dx} {(1+\sin^2x)^{\frac{\pi}{2}}}[/TEX]
[TEX]= \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} ln\frac{(17-cos4x)^{\frac{\pi}{2}}dx} {[(1+cos^2x)(1+sin^2x)]^{\frac{\pi}{2}}[/TEX]
[TEX]=\frac{\pi}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} ln\frac{(17-cos4x)}{(1+cos^2x)(1+sin^2x)}dx[/TEX]
Ta có
[TEX]17 - cos4x = 16 + 2sin^22x=16+8sin^2x.cos^2x = 8(1+sin^2x)(1+cos^2x)[/TEX]
Nên
[TEX] I = \frac{\pi}{4}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} ln\frac{8(1+sin^2x)(1+cos^2x)}{(1+cos^2x)(1+sin^2x)}dx[/TEX]
[TEX] = \frac{\pi}{4} ln8\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx [/TEX]

 

[duynhan1]

1. Cách khác nhé . Mà thực ra là 1 ^^
Đặt $t=1+\sqrt{x} + \sqrt{x+1}$, ta có:
$\begin{aligned} & t-1 = \sqrt{x+1} + \sqrt{x} \\ \Rightarrow & \frac{1}{t-1} = \sqrt{x+1} - \sqrt{x} \\ \Rightarrow & (t-1)^2 - \frac{1}{(t-1)^2} = 4 \sqrt{x} . \sqrt{x+1} \end{aligned} $
Do đó: $$ \text{dt} = \frac12 \left(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x}.\sqrt{x+1}} \right) \text{dx} = \frac{2(t-1)}{(t-1)^2 - \frac{1}{(t-1)^2}} \text{dx} \\ \Rightarrow \text{dx} = \frac{(t-1)^2-\frac{1}{(t-1)^2}}{2(t-1)} \text{dt} $$
+ Đổi cận:
....$\bullet x=0 \Rightarrow t =2$
....$\bullet x=1 \Rightarrow t=2+\sqrt{2}$
$$I = \int_2^{2+\sqrt{2}} \frac{(t-1)^2-\frac{1}{(t-1)^2}}{2t(t-1)} \text{dt}$$