Một vài bài tập về bất đẳng thức

[donquanhao_ub]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho 0 < a,b,c <1
CMR ab + bc + ac \geq 3abc
Bài 2: Cm bđt
[TEX] \sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab} [/TEX] (với a > c > 0; b > c > 0)
Bài 3: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác t/m a < b < c
Cmr [TEX] a^3(b^2-c^2)+b^3(b^2-c^2)+c^3(a^2-b^2) < 0 [/TEX]
Bài 4: Cho a,b,c\geq0
a+b+c=1
Cmr [TEX] \sqrt{a+1}+sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}<3,5 [/TEX]
Bài 5: Cho a, b\geq0
Cm [TEX] \sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b} [/TEX]

 

[vvquang77]

bai` 1:
ab+bc+ac >=3abc
<=> ab+bc+ac+3abc >=0
<=>ab(1-c)+bc(1-c)+ac(1-b)>=0
ta co a,b,c <1=>1-c>0 1-b>0 1-a>0
a,b,c>0 =>ab>0 bc>0 ac>0

 

[ms.sun]

Bài 1: Cho 0 < a,b,c <1
CMR ab + bc + ac \geq 3abc
Bài 2: Cm bđt
[TEX] \sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab} [/TEX] (với a > c > 0; b > c > 0)
Bài 3: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác t/m a < b < c
Cmr [TEX] a^3(b^2-c^2)+b^3(b^2-c^2)+c^3(a^2-b^2) < 0 [/TEX]
Bài 4: Cho a,b,c\geq0
a+b+c=1
Cmr [TEX] \sqrt{a+1}+sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}<3,5 [/TEX]
Bài 5: Cho a, b\geq0
Cm [TEX] \sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b} [/TEX]

bài 4 nè:
CM: [TEX] \sqrt{a+1}+sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}<3,5 [/TEX]
ta có:
[TEX]\sqrt{a+1}[/TEX]\leq[TEX]\frac{a+1+1}{2}[/TEX]
Tương tự ta có:
[TEX]\sqrt{b+1}[/TEX]\leq[TEX]\frac{b+2}{2}[/TEX]
[TEX]\sqrt{c+1}[/TEX]\leq[TEX]\frac{c+2}{2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX] \sqrt{a+1}+sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}<3.5[/TEX]
Dấu "=" không thể xảy ra được vì tổng a+b+c=1

 

[ms.sun]

bai` 1:
ab+bc+ac >=3abc
<=> ab+bc+ac+3abc >=0
<=>ab(1-c)+bc(1-c)+ac(1-b)>=0
ta co a,b,c <1=>1-c>0 1-b>0 1-a>0
a,b,c>0 =>ab>0 bc>0 ac>0

hình như ở bước thứ 2 phải là dấu trừ bạn nhỉ
chuyển vế phải đổi dấu mà!

 

[hp7412314863456]

Tớ bổ sung với thắc mắc câu 4 chút
Áp dụng BTD cauchy .....
(a+1)+1/2 >= V(a+1)*1 ( / : phần , >= lớn hơn hoặc bằng , V căn bậc 2 )
=> V(a+1)*1 =< (a+1)+1/2 ( =< bé hơn hoặc bằng )
TT : V(b+1)*1 =< (b+1)+1/2
V(c+1)*1 =< (c+1)+1/2

Từ 3 trên => V(a+1) + V(b+1) + V(c+1) =< a+1+1+b+1+1+c+1+1/2 = 3,5
Phần dấu "=" ko thế xảy ra được vì a+b+c = 1 tớ ko rõ lắm giải thik giúp tớ được không

 

[ms.sun]

Tớ bổ sung với thắc mắc câu 4 chút
Áp dụng BTD cauchy .....
(a+1)+1/2 >= V(a+1)*1 ( / : phần , >= lớn hơn hoặc bằng , V căn bậc 2 )
=> V(a+1)*1 =< (a+1)+1/2 ( =< bé hơn hoặc bằng )
TT : V(b+1)*1 =< (b+1)+1/2
V(c+1)*1 =< (c+1)+1/2

Từ 3 trên => V(a+1) + V(b+1) + V(c+1) =< a+1+1+b+1+1+c+1+1/2 = 3,5
Phần dấu "=" ko thế xảy ra được vì a+b+c = 1 tớ ko rõ lắm giải thik giúp tớ được không

Sặc....................
Tớ làm dễ hiểu thế rồi còn gì!!!!
Ta có [TEX]\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+sqrt{c+1}<{\frac{a+2+b+2+c+2}{2}}=\frac{a+b+c+6}{2}=\frac{1+6}{2}=3,5[/TEX]

Mà vì a+b+c=1
nên dấu"=" không xảy ra vì nếu dấu"=" mà xảy ra thì a+1=1 hay a=0
tương tự có b=c=0 thì trái với giả thiết đã cho


Thế này đựoc chưa hở bạn????????||

 

[ms.sun]

Bài 1: Cho 0 < a,b,c <1
CMR ab + bc + ac \geq 3abc
Bài 2: Cm bđt
[TEX] \sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab} [/TEX] (với a > c > 0; b > c > 0)
Bài 3: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác t/m a < b < c
Cmr [TEX] a^3(b^2-c^2)+b^3(b^2-c^2)+c^3(a^2-b^2) < 0 [/TEX]
Bài 4: Cho a,b,c\geq0
a+b+c=1
Cmr [TEX] \sqrt{a+1}+sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}<3,5 [/TEX]
Bài 5: Cho a, b\geq0
Cm [TEX] \sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b} [/TEX]

Bài 2 có 5 cách giải cơ:
C1:
Ta có:[TEX]\sqrt{c(a-c)}+{\sqrt{c(b-c)}[/TEX]\leq[TEX]\sqrt{(c+b-c)(a-c+c)}={\sqrt{ab}}[/TEX](theo BĐT Bunhiacôpski)

C2:
Áp dụng BĐT cô-si,ta có:
[TEX]\sqrt{\frac{c(a-c)}{ab}}+{\sqrt{\frac{c(b-c)}{ab}}[/TEX]\leq[TEX]\frac{1}{2}({\frac{c}{b}}+{\frac{a-c}{a}})+{\frac{1}{2}({\frac{c}{a}}+{\frac{b-c}{b}}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{\sqrt{c(a-c)}}{\sqrt{ab}}+{\frac{\sqrt{c(b-c)}}{\sqrt{ab}[/TEX]\leq[TEX]1[/TEX]

\RightarrowVT\leqVP

Thôi,bận rùi
tí post tiếp

 

[bigbang195]

Bài 5 áp dụng Schawr trực tiếp là ra :khi (151): :khi (151):